Dyskretne równanie Poissona

W matematyce dyskretne równanie Poissona jest skończonym analogiem różnicowym równania Poissona . W nim dyskretny operator Laplace'a zastępuje operatora Laplace'a . Dyskretne równanie Poissona jest często używane w analizie numerycznej jako zamiennik ciągłego równania Poissona, chociaż jest również badane samodzielnie jako temat w matematyce dyskretnej .

Na dwuwymiarowej prostokątnej siatce

Używając metody numerycznej różnic skończonych do dyskretyzacji dwuwymiarowego równania Poissona (przy założeniu jednolitej dyskretyzacji przestrzennej ) na siatce m × n , otrzymujemy następujący wzór: ${\ Displaystyle \ Delta x = \ Delta y}$

$${\ Displaystyle ({\ nabla} ^ {2} u) _ {ij} = {\ Frac {1} {\ Delta x ^ {2}}} (u_ {i + 1, j} + u_ {i-1 ,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{ij})=g_{ij}}$$

gdzie ${\ Displaystyle 2 \ równoważnik i \ równoważnik m-1}$ i ${\ Displaystyle 2 \ równoważnik j \ równoważnik n-1}$ . Preferowanym układem wektora rozwiązania jest użycie uporządkowania naturalnego , które przed usunięciem elementów brzegowych wyglądałoby następująco:

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {11},u_{21},\ldots,u_{m1},u_{12},u_{22},\ldots,u_{m2},\ldots,u_{mn}\end{bmacierz}}^{ \mathsf {T}}}$$

W rezultacie powstanie układ liniowy mn × mn :

$${\ Displaystyle A \ mathbf {u} = \ mathbf {b}}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle A={\begin{bmatrix}~D&-I&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-I&~D&-I&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-I&~D&-I& ~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-I&~D&-I&~0\\~0& \cdots &\cdots &~0&-I&~D&-I\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-I&~D\end{bmatrix}},}$$

${\ displaystyle I}$ jest macierzą tożsamości m × m , a także m × m , jest dana przez: ${\ displaystyle D}$

$$\ Displaystyle D={\begin{bmatrix}~4&-1&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-1&~4&-1&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-1&~4&-1& ~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-1&~4&-1&~0\\~0& \cdots &\cdots &~0&-1&~4&-1\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-1&~4\end{bmatrix}},}$$

i ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ jest zdefiniowany przez

$${\ Displaystyle \ mathbf {b} = - \ Delta x ^ {2} {\ rozpocząć {bmatrix} g_ {11}, g_ {21}, \ ldots, g_ {m1}, g_ {12}, g_ {22} ,\ldots ,g_{m2},\ldots ,g_{mn}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$$

Dla każdego $jot$$kolumny$ odpowiadają blokowi składników w: $}$$\$ }

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {1j}, &u_{2j},&\ldots ,&u_{i-1,j},&u_{ij},&u_{i+1,j},&\ldots ,&u_{mj}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

$m$ gdy kolumny po lewej i prawej stronie odpowiadają innym blokom $displaystyle$ w obrębie $:$$}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {1, j-1}, & u_ {2, j-1}, & \ ldots, & u_ {i-1, j-1}, & u_ {i, j- 1},&u_{i+1,j-1},&\ldots ,&u_{m,j-1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

I

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {1, j + 1}, & u_ {2, j + 1}, & \ ldots, & u_ {i-1, j + 1}, & u_ {i, j + 1},&u_{i+1,j+1},&\ldots ,&u_{m,j+1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

odpowiednio.

Z powyższego można $wywnioskować$$,$ że kolumny $blokowe$ Należy zauważyć, że określone wartości $.$$zwykle$$na$ granicy ) miałyby usunięte odpowiednie elementy z W typowym przypadku, gdy wszystkie węzły na granicy są ustawione, mamy ${\ Displaystyle 2 \ równoważnik i \ równoważnik m-1}$ i ${\ Displaystyle 2 \ równoważnik j \ równoważnik n-1}$ , a system miałby wymiary ( m - 2) ( n - 2) × ( m - 2) ( n - 2) , gdzie ${\ Displaystyle D}$ i ${\ displaystyle I }$ miałby wymiary ( m - 2) × ( m - 2) .

Przykład

Dla siatki 3 × 3 ( $3}$$=$ \ ) ze wszystkimi określonymi węzłami granicznymi system wyglądałby

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} U \ koniec {bmatrix}} = {\begin{bmatrix}u_{22},u_{32},u_{42},u_{23},u_{33},u_{43},u_{24},u_{34},u_{44} \end{bmacierz}}^{\mathsf {T}}}$$

z

$${\ Displaystyle A = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {ccc | ccc | ccc} ~ 4 i -1 i ~ 0 i -1 i ~ 0 i ~ 0 i ~ 0 i ~ 0 i ~ 0 \\-1&~4&-1&~0&-1&~0&~0&~0&~0\\~0&-1&~4&~0&~0&-1&~0&~0&~0\\\hlinia -1&~0&~0& ~4&-1&~0&-1&~0&~0\\~0&-1&~0&-1&~4&-1&~0&-1&~0\\~0&~0&-1&~0&-1&~4&~0&~0& -1\\\hlinia ~0&~0&~0&-1&~0&~0&~4&-1&~0\\~0&~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4&-1\\~0&~0& ~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4\koniec{tablica}}\prawo]}$$

oraz

$${\ Displaystyle \ mathbf {b} = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {l} - \ Delta x ^ {2} g_ {22} + u_ {12} + u_ {21} \\- \ Delta x ^ {2}g_{32}+u_{31}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{42}+u_{52}+u_{41}\\-\Delta x ^{2}g_{23}+u_{13}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{33}~~~~~~~~~~~~~~ ~\\-\Delta x^{2}g_{43}+u_{53}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{24}+u_{14}+u_{ 25}\\-\Delta x^{2}g_{34}+u_{35}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{44}+u_{54}+u_ {45}\end{tablica}}\prawo].}$$

Jak widać, granice $.$ przeniesione na prawą stronę równania Cały system to 9 × 9 , podczas gdy i ${\ displaystyle I}$$to$ 3 × 3 i podane przez: re {

$${\ Displaystyle D = {\ rozpocząć {bmatrix} ~ 4 i -1 i ~ 0 \\ -1 i ~ 4 i -1 \\ ~ 0 i -1 i ~ 4 \\ \end{bmacierz}}}$$

I

$${\ Displaystyle -I = {\ początek {bmatrix} -1&~ 0&~ 0\\~ 0&-1&~ 0\\~ 0&~ 0&-1\ koniec {bmatrix}}.}$$

Metody rozwiązania

Ponieważ $bmatrix}}}$ jest trójkątny i rzadki, opracowano wiele metod rozwiązania, aby optymalnie rozwiązać ten układ liniowy dla ${bmatrix}U\koniec{bmatrix}}}$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} A$ . $Displaystyle O (n ^ {1,5})}$ metod jest uogólniony $1,5$ z wynikową złożonością obliczeniową cykliczna redukcja , kolejne nadmierne rozluźnienie , które ma złożoność i szybka transformata Fouriera , czyli ${\ Displaystyle O (n \ log (n))}$ . Optymalne $wielosiatkowych$ obliczyć przy .

Zbieżność Poissona różnych metod iteracyjnych z nieskończonymi normami reszt względem liczby iteracji i czasu komputera.

Aplikacje

W obliczeniowej dynamice płynów , w celu rozwiązania problemu przepływu nieściśliwego, warunek nieściśliwości działa jako ograniczenie dla ciśnienia. W tym przypadku nie ma wyraźnej dostępnej postaci ciśnienia ze względu na silne sprzężenie pól prędkości i ciśnienia. W tym stanie, biorąc rozbieżność wszystkich składników w równaniu pędu, otrzymuje się równanie poissona ciśnienia.

W przypadku przepływu nieściśliwego ograniczenie to jest określone wzorem:

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe v_ {x}} {\ częściowe x}} + {\ Frac {\ częściowe v_ {y}} {\częściowe y}}+{\frac {\częściowe v_{z}}{\częściowe z}}=0}$$

gdzie $}}$$x$ to prędkość w kierunku, ${\ displaystyle v_ {y}}$ to prędkość w ${\ displaystyle y}$ v $\ displaystyle v_ {z}}$ to prędkość $kierunku$ . Biorąc rozbieżność równania pędu i korzystając z więzu nieściśliwości, równanie ciśnienia Poissona jest utworzone przez:

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} p = f (\ nu, V)}$$

gdzie $jest$ lepkością kinematyczną płynu i $wektorem$ .

Dyskretne równanie Poissona powstaje w teorii łańcuchów Markowa . Pojawia się jako funkcja wartości względnej dla równania programowania dynamicznego w procesie decyzyjnym Markowa oraz jako zmienna kontrolna do zastosowania w redukcji wariancji symulacji.

przypisy

• Hoffman, Joe D., Metody numeryczne dla inżynierów i naukowców, wyd. 4. , McGraw-Hill Inc., Nowy Jork, 1992.
• Słodki, Roland A., SIAM Journal na temat analizy numerycznej, tom. 11, nr 3 , czerwiec 1974, s. 506–520.
•   Prasa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Sekcja 20.4. Metody redukcji Fouriera i cyklicznej” . Przepisy numeryczne: sztuka obliczeń naukowych (wyd. 3). Nowy Jork: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 .