Dzielnik theta

W matematyce dzielnik theta Θ jest dzielnikiem w sensie geometrii algebraicznej zdefiniowanej na rozmaitości abelowej A nad liczbami zespolonymi (i głównie spolaryzowanymi ) przez miejsce zerowe powiązanej funkcji theta Riemanna . Jest to zatem podrozmaitość algebraiczna A o wymiarze dim A - 1.

Teoria klasyczna

Klasyczne wyniki Bernharda Riemanna opisują Θ w inny sposób, w przypadku, gdy A jest jakobianową rozmaitością J krzywej algebraicznej ( zwarta powierzchnia Riemanna ) C . Do wyboru punktu bazowego P na C istnieje standardowe odwzorowanie C na J za pomocą interpretacji J jako liniowych klas równoważności dzielników na C stopnia 0. To znaczy Q na mapach C do klasy Q − P . Następnie _, ponieważ J jest grupą algebraiczną , C może być dodane do siebie k razy na J , dając początek podrozmaitościom Wk .

Jeśli g jest rodzajem C , Riemann udowodnił, że Θ jest translacją na J z W _{g - 1} . Opisał również, które punkty na W _{g - 1} nie są pojedyncze : odpowiadają efektywnym dzielnikom D stopnia g - 1 bez powiązanych funkcji meromorficznych innych niż stałe. Mówiąc bardziej klasycznym językiem, te D nie poruszają się w liniowym systemie dzielników na C , w tym sensie, że nie dominują nad biegunowym dzielnikiem funkcji niestałej.

⁰ Riemann dalej udowodnił twierdzenie Riemanna o osobliwościach , identyfikując krotność punktu p = klasa ( D ) na W _{g - 1} jako liczbę liniowo niezależnych funkcji meromorficznych z dzielnikiem biegunów zdominowanym przez D lub równoważnie jako h ( O ( D )) , liczba liniowo niezależnych globalnych odcinków wiązki linii holomorficznych związanych z D jako dzielnikiem Cartiera na C .

Późniejsza praca

Twierdzenie o osobliwości Riemanna zostało rozszerzone przez George'a Kempfa w 1973 r., Opierając się na pracach Davida Mumforda i Andreotti - Mayer, do opisu osobliwości punktów p = klasa ( D ) na W _k dla 1 ≤ k ≤ g - 1. W w szczególności obliczył ich krotności również pod względem liczby niezależnych funkcji meromorficznych związanych z D ( twierdzenie o osobliwości Riemanna-Kempfa ).

⁰ Dokładniej, Kempf zmapował J lokalnie w pobliżu p do rodziny macierzy pochodzących z _dokładnej sekwencji , która oblicza h (O( D )), w taki sposób, że Wk odpowiada locus macierzy o randze mniejszej niż maksymalna. Wielość jest wtedy zgodna z krotnością punktu w odpowiednim locus rangi. Wyraźnie, jeśli

⁰ h (O( re )) = r + 1,

krotność W _k w klasie ( D ) jest współczynnikiem dwumianowym

${\ Displaystyle {g-k + r \ wybierz r}.}$

Kiedy k = g - 1, to jest r + 1, wzór Riemanna.

Notatki

•   P.Griffithsa ; J. Harrisa (1994). Zasady geometrii algebraicznej . Biblioteka Wiley Classics. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8 .