Ekspansja Jacobiego – Gniewu

W matematyce ekspansja Jacobiego – Angera (lub tożsamość Jacobiego – Angera ) jest rozwinięciem wykładników funkcji trygonometrycznych na podstawie ich harmonicznych. Jest przydatny w fizyce (na przykład do konwersji fal płaskich na cylindryczne) oraz w przetwarzaniu sygnałów (do opisu sygnałów FM ). Tożsamość ta została nazwana na cześć XIX-wiecznych matematyków Carla Jacobiego i Carla Theodora Angera .

Najbardziej ogólną tożsamość podaje:

{\ Displaystyle e ^ {iz \ cos \ theta} \ równoważnik \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\infty}i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta},}

gdzie jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju i jest jednostką urojoną , $\textstyle i^{2}=-1.}$ ${\textstyle i^{2}=-1.}$ $)$ ${\ Displaystyle J_ {$ $n}$ Zastępując ${\textstyle \theta}$ przez ${\textstyle \theta -{\frac {\pi}}{2}}}$ , otrzymujemy również:

{\ Displaystyle e ^ {iz \ sin \ teta} \ równoważnik \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} J_ {n} (z) \, e ^ {w \ teta}.}

Używając relacji ${\ Displaystyle J_ {- n} (z) = (-1) ^ {n} \, J_ {n} (z) ,}$ ważne dla liczby całkowitej , rozwinięcie staje się: ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle e ^ {iz \ cos \ theta} \ równoważnik J_ {0} (z) \, + \, 2 \, \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \, i ^ {n} \ ,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta).}

Wyrażenia o wartościach rzeczywistych

Często przydatne są również następujące odmiany o wartościach rzeczywistych:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ cos (z \ cos \ teta) i \ równoważnik J_ {0} (z) + 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^ {n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0} (z)+2\suma _{n=1}^{\infty}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\równoważnik 2\suma _{n=1}^{\infty}J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{wyrównane}}}

Zobacz też

Ekspansja fali płaskiej

Notatki

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 9” . Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. Tom. 55 (Dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); pierwsze wyd.). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Narodowe Biuro Standardów; Publikacje Dover. P. 355. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
Colton, David; Kress, Rainer (1998), Odwrotna teoria rozpraszania akustycznego i elektromagnetycznego , Applied Mathematical Sciences, tom. 93 (wyd. 2), ISBN 978-3-540-62838-5
Cuyt, Annie ; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008), Podręcznik ułamków ciągłych do funkcji specjalnych , Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Ekspansja Jacobiego – gniewu” . MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram . Źródło 2008-11-11 .