Ewolucyjna teoria grafów

Ewolucyjna teoria grafów to obszar badań leżący na przecięciu teorii grafów , teorii prawdopodobieństwa i biologii matematycznej . Ewolucyjna teoria grafów to podejście do badania wpływu topologii na ewolucję populacji . To, że leżąca u podstaw topologia może znacząco wpłynąć na wyniki procesu ewolucyjnego, widać najwyraźniej w artykule Ereza Liebermana , Christopha Hauerta i Martina Nowaka .

teorii grafów ewolucyjnych jednostki zajmują wierzchołki ważonego grafu skierowanego , a waga w _{i j} krawędzi od wierzchołka i do wierzchołka j oznacza prawdopodobieństwo zastąpienia przez i j . Waga odpowiada biologicznemu pojęciu sprawności , w którym typy sprawniejsze rozmnażają się łatwiej. Jedną z właściwości badaną na grafach z dwoma typami osobników jest prawdopodobieństwo fiksacji , które definiuje się jako prawdopodobieństwo, że pojedynczy, losowo umieszczony mutant typu A zastąpi populację typu B. Zgodnie z twierdzeniem o izotermie graf ma takie same prawdopodobieństwo fiksacji jako odpowiedni proces Morana wtedy i tylko wtedy, gdy jest izotermiczne, a zatem suma wszystkich wag prowadzących do wierzchołka jest taka sama dla wszystkich wierzchołków. Na przykład pełny wykres z równymi wagami opisuje proces Morana. Prawdopodobieństwo fiksacji wynosi

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho _ {M} = {\ Frac {1-r ^ {- 1}} {1-r ^ {- N }}}\end{wyrównane}}}$

gdzie r jest względną sprawnością typu inwazyjnego.

Grafy można podzielić na wzmacniacze selekcji i tłumiki selekcji. Jeśli prawdopodobieństwo utrwalenia pojedynczej korzystnej mutacji $G$ utrwalenia odpowiedniego procesu Morana, to wykres jest wzmacniaczem $}}$ , w przeciwnym razie supresor wyboru. Jednym z przykładów tłumienia selekcji jest proces liniowy, w którym tylko wierzchołek i-1 może zastąpić wierzchołek i (ale nie na odwrót). W tym przypadku prawdopodobieństwo fiksacji wynosi $), ponieważ$ gdzie N to liczba wierzchołków powstaje w pierwszym wierzchołku, ostatecznie zastąpi wszystkie inne. Ponieważ dla wszystkich $r większych niż 1, ten$ wykres tłumikiem

Teorię grafów ewolucyjnych można również badać w podwójnym sformułowaniu, jako zlewający się spacer losowy lub jako proces stochastyczny. Możemy rozważyć populację mutantów na wykresie jako losowy spacer między pochłaniającymi barierami reprezentującymi wymieranie mutantów i utrwalanie mutacji. W przypadku wysoce symetrycznych wykresów możemy następnie użyć martyngałów, aby znaleźć prawdopodobieństwo fiksacji , jak zilustrował Monk (2018).

Również gry ewolucyjne można badać na grafach, gdzie ponownie krawędź między i i j oznacza, że ​​te dwie osoby będą rozgrywać grę przeciwko sobie.

Ściśle powiązane procesy stochastyczne obejmują model wyborcy , który został wprowadzony przez Clifforda i Sudbury'ego (1973) oraz niezależnie przez Holleya i Liggetta (1975), i który był szeroko badany.

Bibliografia

• Holley, RA; Liggett, TM (1975). „Twierdzenia ergodyczne dla słabo oddziałujących nieskończonych systemów i model wyborcy” . Roczniki prawdopodobieństwa . 3 (4): 643–663. doi : 10.1214/aop/1176996306 .
•   Liggett, Thomas M. (1999). Stochastyczne systemy oddziałujące: procesy kontaktu, głosowania i wykluczenia . Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65995-2 .
• Clifford, P.; Sudbury, A. (1973). „Model konfliktu przestrzennego”. Biometria . 60 (3): 581–588. doi : 10.1093/biomet/60.3.581 .
•   Marcin A. Nowak (2006). Dynamika ewolucyjna: badanie równań życia . Cambridge: Belknap Press z Harvard University Press . ISBN 978-0-674-02338-3 .
•    Mnich, T. (2018). „Martyngały i prawdopodobieństwo utrwalenia wielowymiarowych grafów ewolucyjnych”. Dziennik biologii teoretycznej . 451 : 10–18. Bibcode : 2018JThBi.451...10M . doi : 10.1016/j.jtbi.2018.04.039 . PMID 29727631 . S2CID 13682722 .

Linki zewnętrzne

Wirtualne laboratorium do badania ewolucji na wykresach: [1]

Dalsza lektura

• Allen, Benjamin; Nowak, Martin A. (2014). „Gry na wykresach” . Ankiety EMS w naukach matematycznych . 1 (1): 113–151. doi : 10.4171/emss/3 .