Funkcja Control-Lyapunova

W teorii sterowania funkcja $Lapunowa$ - (CLF) jest rozszerzeniem idei funkcji Lapunowa systemy z wejściami Zwykła funkcja Lapunowa służy do testowania, czy układ dynamiczny jest (Lapunowa) stabilny , czy (bardziej restrykcyjnie) asymptotycznie stabilny . Stabilność Lapunowa oznacza $,$ jeśli system rozpocznie się w stanie w jakiejś domenie D , to stan ten pozostanie w D przez cały czas Dla stabilności asymptotycznej stan jest również wymagany do zbieżności do ${\ displaystyle x = 0}$ . Funkcja Control-Lyapunova służy do testowania, czy system jest stabilizowany asymptotycznie , to znaczy, czy dla dowolnego stanu x istnieje kontrola taka, że układ można doprowadzić do ${\ Displaystyle u (x, t)}$ do stanu zerowego asymptotycznie stosując sterowanie u .

Teorię i zastosowanie funkcji kontrolno-Ljapunowa opracowali Zvi Artstein i Eduardo D. Sontag w latach 80. i 90. XX wieku.

Definicja

Rozważ autonomiczny system dynamiczny z wejściami

{\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x, u)}

()

gdzie ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ jest wektorem stanu i jest wektorem sterującym ${\ Displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ . Załóżmy, że naszym celem jest doprowadzenie systemu do równowagi z każdego stanu początkowego w jakiejś domenie. ${\ Displaystyle x_ {*} \ in \ mathbb {$ $}} \subset \mathbb {R} ^{n}}$ . Bez utraty ogólności załóżmy, że równowaga jest w $}$ (dla równowagi można ją przetłumaczyć $\ Displaystyle x_ {*} \ neq 0$ początek przez zmiana zmiennych).

Definicja. Funkcja Control-Lyapunova (CLF $V (x)} jest$ to funkcja , która jest różniczkowalna w sposób ciągły $,$ (to znaczy $dla$ dla wszystkich $, w$ punktu ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n} (x \ neq 0)}$ wynosi zero) i takie, że istnieje takie, że ${\ Displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

{\ Displaystyle {\ kropka {V}} (x, u): = \ langle \ nabla V (x) ,f(x,u)\zakres <0,}

gdzie $}$ ${\ Displaystyle u, v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ oznacza iloczyn wewnętrzny u .

Ostatni warunek jest warunkiem kluczowym; słownie mówi, że dla każdego stanu x możemy znaleźć sterowanie u , które zmniejszy „energię” V . Intuicyjnie, jeśli w każdym stanie zawsze możemy znaleźć sposób na zmniejszenie energii, w końcu powinniśmy być w stanie asymptotycznie sprowadzić energię do zera, czyli zatrzymać system. Jest to rygorystyczne dzięki twierdzeniu Artsteina .

Niektóre wyniki odnoszą się tylko do systemów afinicznych do sterowania, tj. systemów sterowania w następującej postaci:

{\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x) + \ suma _ {i = 1} ^ {m} g_ { i}(x)u_{i}}

()

gdzie ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}} i sol ja : R n$ $} : \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$ R dla ${\ Displaystyle i = 1, \ kropki, m}$ .

Twierdzenia

ED Sontag wykazał, że dla danego układu sterowania istnieje ciągły CLF wtedy i tylko wtedy, gdy początek jest stabilizowany asymptotycznie. Później Francis H. Clarke wykazał, że każdy system sterowany asymptotycznie może być stabilizowany przez (zwykle nieciągłe) sprzężenie zwrotne. Artstein udowodnił, że układ dynamiczny ( 2 ) ma różniczkowalną funkcję sterującą Lapunowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje regularne stabilizujące sprzężenie zwrotne u ( x ).

Konstruowanie wejścia stabilizującego

Często trudno jest znaleźć funkcję sterującą Lapunowa dla danego systemu, ale jeśli takowa zostanie znaleziona, problem stabilizacji ze sprzężeniem zwrotnym znacznie się upraszcza. W przypadku systemu afinicznego sterowania ( 2 ) wzór Sontaga (lub wzór uniwersalny Sontaga ) daje prawo sprzężenia zwrotnego ${\ Displaystyle k: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$ bezpośrednio pod względem pochodnych CLF. W szczególnym przypadku pojedynczego systemu wejściowego formuła Sontag jest zapisana jako ${\ Displaystyle (m = 1)}$

{\ Displaystyle k (x) = {\ rozpocząć {przypadki} \ Displaystyle - {\ Frac {L_ {f} V (x) + {\ sqrt {\ lewo [L_ {f} V (x) \right]^{2}+\left[L_{g}V(x)\right]^{4}}}}{L_{g}V(x)}}&{\text{ if }}L_{ g}V(x)\neq 0\\0&{\text{ if }}L_{g}V(x)=0\end{przypadki}}}

gdzie ${\ Displaystyle L_ {f} V (x): = \ langle \ nabla V (x), f (x) \ rangle}$ i ${\ Displaystyle L_ {g} V (x): = \ langle \ nabla V (x), g (x) \ rangle}$ są pochodnymi Liego odpowiednio $wzdłuż$ sol $_$ $_$ _

W przypadku ogólnego systemu nieliniowego ( 1 ) dane wejściowe można znaleźć, rozwiązując statyczny problem programowania nieliniowego ${\ displaystyle u}$

{\ Displaystyle u ^ {*} (x) = {\ underset {u} {\ operatorname {arg \, min} }}\nabla V(x)\cdot f(x,u)}

dla każdego stanu x .

Przykład

Oto charakterystyczny przykład zastosowania kandydującej funkcji Lapunowa do problemu sterowania.

Rozważmy układ nieliniowy, który jest układem masa-sprężyna-tłumik z utwardzaniem sprężyny i masą zależną od położenia opisaną przez

{\ Displaystyle m (1 + q ^ {2}) {\ ddot {q}} + b {\ kropka {q }}+K_{0}q+K_{1}q^{3}=u}

$e = q_ {d$ uwagę pożądany stan i stan rzeczywisty, z błędem, $q$ $Displaystyle$ } zdefiniuj funkcję jako ${\ displaystyle r}$

{\ Displaystyle R = {\ kropka {e}} + \ alfa e}

Kandydat Kontroli-Ljapunowa jest zatem

{\ Displaystyle V = {\ Frac {1} {2}} r ^ {2}}

co jest dodatnio określone dla wszystkich ${\ Displaystyle q \ neq 0}$ , ${\ Displaystyle {\ kropka {q}} \ neq 0}$ .

Teraz biorąc pochodną czasu z ${\ displaystyle V}$

{\ Displaystyle {\ kropka {V}} = r {\ kropka {r}}}

{\ Displaystyle {\ kropka {V}}=({\kropka {e}}+\alfa e)({\ddot {e}}+\alpha {\kropka {e}})}

Celem jest uzyskanie pochodnej czasu

{\ Displaystyle {\ kropka {V}} = - \ kappa V}

$,$ jeśli jest globalnie dodatnio określony (co jest).

Dlatego chcemy prawego nawiasu ${\ displaystyle {\ kropka {V}}}$ ,

{\ Displaystyle ({\ ddot {e}} + \ alfa {\ kropka {e}}) = ({\ ddot {q }}_ {d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})}

aby spełnić wymaganie

{\ Displaystyle ({\ ddot {q}} _ {d} - {\ ddot {q}} + \ alfa { \dot {e}})=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)}

co po podstawieniu dynamiki daje ${\ displaystyle {\ ddot {q}}}$

{\ Displaystyle \ lewo ({\ ddot {q}}_{d}-{\frac {u-K_{0}q-K_{1}q^{3}-b{\kropka {q}}}{m(1+q^{2} )}}+\alpha {\dot {e}}\right)=-{\frac {\kappa}}{2}}({\dot {e}}+\alpha e)}

Rozwiązanie dla $kontroli$ prawo

{\ Displaystyle u = m (1 + q ^ {2}) \ left({\ddot {q}}_{d}+\alpha {\dot {e}}+{\frac {\kappa}}{2}}r\right)+K_{0}q+K_{1} q^{3}+b{\kropka {q}}}

z ${\ displaystyle \ kappa}$ i , oba większe od zera, jako parametry dostrajalne κ {\ $displaystyle \ kappa$

To prawo kontroli zagwarantuje globalną stabilność wykładniczą od momentu podstawienia do pochodnej czasowej, zgodnie z oczekiwaniami

{\ Displaystyle {\ kropka {V}} = - \ kappa V}

które jest liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, które ma rozwiązanie

{\ Displaystyle V = V (0) \ exp (- \ kappa t)}

A stąd błąd i poziom błędów, pamiętając, że ${\ Displaystyle V = {\ Frac {1} {2}} ({\ kropka {e}} + \ alfa e) ^{2}}$ , spada wykładniczo do zera.

$displaystyle$ jest ponowne zastąpienie rozwiązania, które wyprowadziliśmy dla i rozwiązanie dla $e}$ . Pozostawiamy to jako ćwiczenie dla czytelnika, ale kilka pierwszych kroków w rozwiązaniu to: