Funkcja ciągła Cauchy'ego

W matematyce funkcja ciągła Cauchy'ego lub funkcja regularna Cauchy'ego jest szczególnym rodzajem funkcji ciągłej między przestrzeniami metrycznymi (lub bardziej ogólnymi). Funkcje ciągłe Cauchy'ego mają tę użyteczną właściwość, że zawsze można je (jednoznacznie) rozszerzyć do uzupełnienia Cauchy'ego w swojej dziedzinie.

Definicja

Niech $}$ $}$ $Displaystyle Y.}$ i $displaystyle Y}$ \ będą przestrzeniami metrycznymi i niech będą od $displaystyle X$ do $\$ Wtedy jest ciągła Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy, biorąc pod uwagę dowolną Cauchy'ego ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1}, x_ {2} \ ldots \ prawej)}$ $,f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$ sekwencji $($ ) $\ Displaystyle \ lewo (f \ lewo (x_ {1} \$ jest ciągiem Cauchy'ego w ${\ Displaystyle Y.}$

Nieruchomości

Każda funkcja jednostajnie ciągła jest również ciągła Cauchy'ego. I odwrotnie, jeśli dziedzina jest całkowicie ograniczona $,$ to każda funkcja ciągła Cauchy'ego jest jednostajnie ciągła $Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy$ ogólnie, nawet jeśli nie jest całkowicie ograniczona, funkcja na jest ciągła $,$ gdy jest jednostajnie ciągła na każdym całkowicie ograniczonym ${\ Displaystyle X.}$

Każda funkcja ciągła Cauchy'ego jest ciągła . I odwrotnie, jeśli dziedzina jest $kompletna , to$ jest ciągła Cauchy'ego. Bardziej ogólnie, nawet jeśli $X}$ jest kompletna, o ile jest $kompletna$ , to każda ciągła funkcja Cauchy'ego od do $.$ $displaystyle$ może zostać do funkcji ciągłej (a więc ciągłej Cauchy'ego) określonej na uzupełnieniu Cauchy'ego ${\ displaystyle X;}$ to rozszerzenie jest z konieczności wyjątkowe.

Łącząc te fakty, jeśli jest $zwarty$ , to mapy ciągłe, mapy ciągłe Cauchy'ego i mapy jednostajnie ciągłe na X $displaystyle X}$ są takie same.

Przykłady i nie-przykłady

Ponieważ linia rzeczywista $ciągłe$ $kompletna$ , ciągłe funkcje Cauchy'ego na . Jednak w podprzestrzeni $wymiernych$ sprawy mają się inaczej. Na przykład zdefiniuj funkcję dwuwartościową, tak aby $x^{2}$ { $Displaystyle$ $0$ when is less than $2$ but $1$ when $x^{2}$ is greater than $2.$ (Note that $x^{2}$ is never equal to $2$ for any rational number $x.$ ) This function is continuous on $\mathbb {Q}$ but not Cauchy-continuous, since it cannot be extended continuously to $\mathbb {R} .$ On the other hand, any uniformly continuous function on $\mathbb {Q}$ must be Cauchy-continuous. For a non-uniform example on $\mathbb {Q} ,$ let $f(x)$ be $2^{x}$ ; this is not uniformly continuous (on all of $\mathbb {Q}$ ), but it is Cauchy-continuous. (This example works equally well on $\mathbb {R} .$ )

Sekwencję Cauchy'ego ${\ Displaystyle \ lewo (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots \ prawej)}$ $można$ zidentyfikować za pomocą funkcji ciągłej Cauchy'ego od ${\ Displaystyle \ lewo \ {1,1/2,1/3, \ ldots \ prawo \}}$ do ${\ Displaystyle Y}$ zdefiniowane przez ${\ Displaystyle f \ lewo (1/n \ prawej) = y_ {n}.}$ $jest$ kompletne , to można to rozszerzyć do $granicą$ $_$ _

Uogólnienia

Ciągłość Cauchy'ego ma sens w sytuacjach bardziej ogólnych niż przestrzenie metryczne, ale wtedy trzeba przejść od sekwencji do sieci (lub równoważnie filtrów ). Powyższa definicja $ma$ ile siecią Cauchy'ego Równoważnie, funkcja jest ciągła $Cauchy'ego$ wtedy i tylko wtedy, gdy, biorąc pod uwagę dowolny $X,}$ Cauchy'ego na $Displaystyle$ wtedy $f({\mathcal {F}})$ jest podstawą filtra Cauchy'ego na ${\ displaystyle Y.}$ Ta definicja jest zgodna z powyższym w przestrzeniach metrycznych, ale działa również w przypadku przestrzeni jednolitych i, najbardziej ogólnie, w przestrzeniach Cauchy'ego .

Dowolny $.$ skierowany można przekształcić w przestrzeń Cauchy'ego Następnie biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń $Y$ $Cauchy'ego$ indeksowane $są$ takie $same$ jak ciągłe funkcje Cauchy'ego $\ Displaystyle Y.}$ do $Y$ { $Displaystyle Y}$ , to rozszerzenie funkcji do da granicy internet. (To uogólnia przykład sekwencji powyżej, gdzie 0 należy interpretować jako ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ infty}}.}$ )

Zobacz też

Eva Lowen-Colebunders (1989). Klasy funkcyjne ciągłych map Cauchy'ego . Dekker, Nowy Jork.