Przestrzeń Cauchy'ego

W ogólnej topologii i analizie przestrzeń Cauchy'ego jest uogólnieniem przestrzeni metrycznych i przestrzeni jednolitych , dla których pojęcie zbieżności Cauchy'ego nadal ma sens. Przestrzenie Cauchy'ego zostały wprowadzone przez HH Kellera w 1968 roku jako narzędzie aksjomatyczne wywodzące się z idei filtra Cauchy'ego , w celu badania zupełności w przestrzeniach topologicznych . Kategoria przestrzeni Cauchy'ego i ciągłych map Cauchy'ego jest kartezjańska domknięta i zawiera kategorię przestrzeni sąsiedztwa .

Definicja

Przez cały czas jest zbiorem, $zakłada$ { \ Displaystyle $i$ się $.$ są właściwe niezdegenerowane (tj. filtr nie może zawierać pustego zestawu).

$\ Displaystyle$ para składająca się ze zbioru $\$ z rodziną $X$ (właściwych) filtrów na ${\ displaystyle X}$ mających wszystkie następujące właściwości:

1. $U$ każdego dyskretny ultrafiltr oznaczony przez U $)$$Displaystyle$${\ Displaystyle C.}$ jest
2. Jeśli $to$ właściwym ${\ Displaystyle G \ w C.}$ podzbiorem $G$${$$displaystyle$ do
3. Jeśli każdy członek przecina każdego członka $C}$${\ Displaystyle F \ cap G \ w C.}$${\ Displaystyle$$,$ a

Element $,$ jest $displaystyle$ Cauchy'ego $_ (Y, D)}$ mapą między przestrzeniami $i$ jest ciągłe Cauchy'ego , jeśli ${\ Displaystyle \ uparrow f (C) \ subseteq D}$ ; to znaczy obraz każdego filtra Cauchy'ego w $jest$ filtra Cauchy'ego w ${\ Displaystyle Y.}$

Właściwości i definicje

$displaystyle$ również przestrzenią zbieżności , gdzie filtr zbiega się do $}$ \ $x$ jeśli W szczególności przestrzeń Cauchy'ego ma naturalną topologię .

Przykłady

• Każda przestrzeń jednorodna (stąd każda przestrzeń metryczna , topologiczna przestrzeń wektorowa lub grupa topologiczna ) jest przestrzenią Cauchy'ego; zobacz filtr Cauchy'ego , aby zapoznać się z definicjami.
• Grupa uporządkowana w sieci ma naturalną strukturę Cauchy'ego.
• Dowolny $Cauchy'ego$ skierowany można przekształcić w przestrzeń $displaystyle n \ in A$ deklarując , że filtr jest Cauchy'm, jeśli przy danym dowolnym elemencie istnieje $ZA$ \ element $Displaystyle U \ in F}$ { \ taki, że jest $podzbiorem$ lub ogona ${\ Displaystyle \ {m: m \ geq n \}.}$ Następnie biorąc pod uwagę dowolną inną przestrzeń Cauchy'ego ${\ Displaystyle X,}$ funkcje ciągłe Cauchy'ego od ZA $\ Displaystyle A}$ do ${\ Displaystyle X}$ są tak samo jak sieci $indeksowane$ w przez $A.}$$\$${\ Displaystyle A \ kubek \ {\ infty \};}$ Jeśli jest , to taką funkcję można rozszerzyć do zakończenia $można$ zapisać } wartość rozszerzenia w ${\ displaystyle \ infty}$ będzie granicą sieci. $przez$ przypadku, gdy liczb naturalnych ( Cauchy'ego indeksowana $A} jest$$A$${\ Displaystyle \ {1,1/2,1/3, \ ldots \}.}$$displaystyle$ sam jak sekwencja Cauchy'ego ), wtedy otrzymuje taką samą strukturę Cauchy'ego jak przestrzeń

Kategoria przestrzeni Cauchy'ego

Naturalnym pojęciem morfizmu między przestrzeniami Cauchy'ego jest pojęcie funkcji ciągłej Cauchy'ego , koncepcji, która była wcześniej badana dla przestrzeni jednolitych.

Zobacz też

• Charakteryzacje kategorii przestrzeni topologicznych
• Przestrzeń zbieżności - Uogólnienie pojęcia zbieżności, które można znaleźć w topologii ogólnej
• Filtry w topologii – Stosowanie filtrów do opisu i charakteryzowania wszystkich podstawowych pojęć topologicznych i wyników.
• Przestrzeń pretopologiczna - Uogólniona przestrzeń topologiczna
• Przestrzeń bliskości - Struktura opisująca pojęcie „bliskości” między podzbiorami

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Klasy funkcyjne ciągłych map Cauchy'ego . Dekker, Nowy Jork, 1989.
•    Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jej podstaw . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .