Przestrzeń bliskości

W topologii przestrzeń bliskości , zwana także przestrzenią bliskości , jest aksjomatyzacją intuicyjnego pojęcia „bliskości”, które utrzymuje się między zbiorami, w przeciwieństwie do lepiej znanego pojęcia punkt-zestaw, które charakteryzuje przestrzenie topologiczne .

Koncepcję opisał Frigyes Riesz ( 1909 ), ale wówczas ją zignorowano. Została ona ponownie odkryta i aksjomatyzowana przez VA Efremoviča w 1934 r. pod nazwą przestrzeni nieskończenie małej , ale opublikowana dopiero w 1951 r. W międzyczasie AD Wallace ( 1941 ) odkrył wersję tego samego pojęcia pod nazwą przestrzeni separacji .

Definicja

Przestrzeń bliskości $(X, \ delta)}$$X}$$\$$displaystyle$ to zbiór z relacją między podzbiorami spełniającą następujące właściwości :

Dla wszystkich podzbiorów ${\ displaystyle A, B, C \ podzbiór X$

1. ${\ Displaystyle A \; \ delta \; B}$ oznacza ${\ Displaystyle B \; \ delta \; A}$
2. ${\ Displaystyle A \; \ delta \; B}$ oznacza ${\ Displaystyle A \ neq \ varnic}$
3. ${\ Displaystyle A \ cap B \ neq \ varnic}$ implikuje ${\ Displaystyle A \; \ delta \; B}$
4. ${\ Displaystyle A \; \ delta \; (B \ Puchar C)}$${\ displaystyle A \ ;\delta \;C}$ ( ${\ Displaystyle A \; \ delta \; B}$ lub )
5. (Dla wszystkich ${\ Displaystyle E,}$${\ Displaystyle A \; \ delta \; E}$ lub ${\ Displaystyle B \; \ delta \; (X \ setminus E) }$ ) oznacza ${\ displaystyle A \;\ delta \; B}$

Bliskość bez pierwszego aksjomatu nazywa się quasi-bliskością (ale wtedy aksjomaty 2 i 4 muszą być wyrażone dwustronnie).

Jeśli $, że$ jest blisko lub i są bliskie ; ZA $\ displaystyle A \$${$ ; $\$$;$ przeciwnym $oddzielone$ mówimy $,$ i są . Mówimy , $proksymalny$ jest lub ${\ Displaystyle \ delta}$ sąsiedztwo ${\ Displaystyle A,}$ ZA napisane ${\ Displaystyle A \ ll B,}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A}$ i ${\ Displaystyle X \ setminus B}$ są od siebie oddalone.

Wymienione poniżej główne właściwości tej ustalonej relacji sąsiedztwa zapewniają alternatywną aksjomatyczną charakterystykę przestrzeni bliskości.

Dla wszystkich podzbiorów $\ displaystyle A, B, C, D \ subseteq X}$

1. ${\ displaystyle X \ ll X}$
2. ${\ Displaystyle A \ ll B}$ oznacza ${\ Displaystyle A \ subseteq B}$
3. ${\ Displaystyle A \ subseteq B \ ll C \ subseteq D}$ implikuje ${\ displaystyle A \ ll D}$
4. ( ${\ displaystyle A \ ll B}$$\ displaystyle A \ ll C}$ ZA ) oznacza $\ displaystyle A \ ll B \ cap C}$
5. ${\ Displaystyle A \ ll B}$ oznacza $ZA {\ Displaystyle X \ setminus B \ ll X \ setminus A$
6. $mi$$,$${\ displaystyle A \ ll E \ ll B.}$ ​​istnieje ZA

Przestrzeń $_$ oddzieloną jeśli x ${\ displaystyle x = y.}$

bliskości lub proksymalna to taka, która zachowuje bliskość, to znaczy, biorąc pod uwagę fa $\ displaystyle f: (X, \ delta) \ do \ lewo (X ^ { *}, \ delta ^ {*} \ prawo),}$ jeśli ${\ displaystyle A \; \ delta \; B}$ w ${\ displaystyle X,}$ wtedy ${\ Displaystyle f [A] \; \ delta ^ {*} \; f [B]}$ w $Równoważnie$ mapa jest proksymalna, jeśli mapa odwrotna zachowuje bliższe sąsiedztwo. W tym samym zapisie oznacza to, że jeśli X $\ Displaystyle X ^ {*},$$to$ fa ${\ Displaystyle f ^ {- 1} [C] \ ll f ^ {- 1} [D]}$${\ displaystyle X.}$ w

Nieruchomości

Biorąc pod uwagę przestrzeń bliskości, można zdefiniować topologię, pozwalając, aby ${\ Displaystyle A \ mapsto \ lewo \ {x: \ {x \} \; \ delta \; A \ prawo \ }}$ być operatorem domknięcia Kuratowskiego . Jeśli przestrzeń bliskości zostanie oddzielona, ​​otrzymaną topologią będzie Hausdorff . Mapy bliskości będą ciągłe pomiędzy indukowanymi topologiami.

Powstała topologia jest zawsze całkowicie regularna . Można to udowodnić, naśladując zwykłe dowody lematu Urysohna , wykorzystując ostatnią właściwość sąsiedztwa bliższego do utworzenia nieskończonego rosnącego łańcucha używanego do dowodzenia lematu.

$się$ jest podaną topologią: jest blisko $.$ i tylko wtedy, gdy ich zamknięcia przecinają Mówiąc bardziej ogólnie, odległości klasyfikują zagęszczenia całkowicie regularnej przestrzeni Hausdorffa.

Przestrzeń jednolita indukuje relację $}$$,$ deklarując, blisko wtedy i tylko wtedy, gdy $niepuste$ przecięcie z każdym otoczeniem. X { $\$ . Mapy równomiernie ciągłe będą wówczas proksymalnie ciągłe.

Zobacz też

• przestrzeń Cauchy’ego
• Przestrzeń zbieżności – Uogólnienie pojęcia zbieżności występujące w topologii ogólnej
• Przestrzeń pretopologiczna – Uogólniona przestrzeń topologiczna

•   Efremovič, VA (1951), „Nieskończone przestrzenie”, Doklady Akademii Nauk SSSR , New Series (w języku rosyjskim), 76 : 341–343, MR 0040748
•    Naimpally, Somashekhar A.; Warrack, Brian D. (1970). Przestrzenie bliskości . Traktaty Cambridge z matematyki i fizyki matematycznej. Tom. 59. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-07935-7 . Zbl 0206.24601 .
•   Riesz, F. (1909), „Stetigkeit und abstrakte Mengenlehre”, Rzym. 4. Matematyka. Kongr. 2 : 18–24, JFM 40.0098.07
•    Wallace, AD (1941), „Przestrzenie separacji” , Ann. matematyki. , 2, 42 (3): 687–697, doi : 10.2307/1969257 , JSTOR 1969257 , MR 0004756
•   Vita, Luminita; Mosty, Douglas (2001). „Konstruktywna teoria bliskości punktów”. CiteSeerX 10.1.1.15.1415 . {{ cite Journal }} : Cite Journal wymaga |journal= ( pomoc )

Linki zewnętrzne

• „Przestrzeń bliskości” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]