Główne twierdzenie teorii eliminacji

W geometrii algebraicznej główne twierdzenie teorii eliminacji mówi, że każdy schemat rzutowy jest właściwy . Wersja tego twierdzenia jest starsza niż teoria schematów . Można to stwierdzić, udowodnić i zastosować w następującym, bardziej klasycznym układzie. Niech $k$ będzie polem , oznaczmy przez $n$ -wymiarową przestrzeń rzutową nad $k$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ . Głównym twierdzeniem teorii eliminacji jest stwierdzenie, że dla dowolnego $n$ i dowolnej rozmaitości algebraicznej $V$ określonej przez $k$ mapa projekcji ${\ Displaystyle V \ razy \ mathbb {P} _ {k} ^ {n }\to V}$ wysyła podzbiory zamknięte przez Zariski do podzbiorów zamkniętych przez Zariski.

Główne twierdzenie teorii eliminacji jest wnioskiem i uogólnieniem teorii wypadkowej wielowymiarowej Macaulaya . Wypadkowa $n$ wielomianów jednorodnych w $n$ zmiennych jest wartością funkcji wielomianu współczynników, która przyjmuje wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany mają wspólne nietrywialne zero na pewnym polu zawierającym współczynniki.

Należy to do teorii eliminacji , ponieważ obliczenie wypadkowej sprowadza się do wyeliminowania zmiennych między równaniami wielomianowymi. W rzeczywistości, biorąc pod uwagę układ równań wielomianowych , który jest jednorodny w niektórych zmiennych, wypadkowa eliminuje te jednorodne zmienne, dostarczając równanie w innych zmiennych, którego rozwiązaniami są wartości tych innych zmiennych w rozwiązaniach pierwotnego system.

Prosty motywujący przykład

Płaszczyzna afiniczna $_$ polem $k$ jest bezpośrednim _ $_$ _ Pozwalać

{\ Displaystyle \ pi \ dwukropek L_ {x} \ razy L_ {y} \ do L_ {x}}

być projekcją

{\ Displaystyle (x, y) \ mapsto \ pi (x, y) = x.}

Ta projekcja nie jest zamknięta dla topologii Zariskiego (ani dla zwykłej topologii, jeśli ${\ displaystyle k = \ mathbb {R}}$ lub ${\ displaystyle k = \ mathbb {C}}$ ), ponieważ obraz przez $pi}$ ${\ Displaystyle xy-1$ hiperboli $H$ równania jest } ${\ Displaystyle L_ {x} \ setminus \ {0 \},}$ , który nie jest domknięty, chociaż $H$ jest domknięty, będąc rozmaitością algebraiczną .

Jeśli rozciąga się na linię rzutową $\ displaystyle L_ {y}}$ zakończenia hiperboli staje się ${$

{\ Displaystyle xy_ {1} -y_ {0} = 0,}

i zawiera

{\ Displaystyle {\ overline {\ pi}} (0, (1,0)) = 0,}

gdzie jest przedłużeniem do L ${\ Displaystyle L_ {x} \ razy P_ {y}.}$ $\ Displaystyle {$ $\ pi}}}$

Zwykle wyraża się to stwierdzeniem, że początek płaszczyzny afinicznej jest rzutem punktu hiperboli, który znajduje się w nieskończoności, w kierunku osi $y$ .

Mówiąc bardziej ogólnie, obraz każdego zbioru algebraicznego w $L_ {x} \ razy L_ {y}}$ $Displaystyle$ albo skończoną liczbą punktów, albo $x}}$ ${\$ $\ Displaystyle L_ {x} \ razy P_{y}}$ $L$ z usuniętą skończoną liczbą punktów, podczas gdy obraz dowolnego zbioru algebraicznego w jest albo skończoną liczbą punktów, albo całą linią ${\ Displaystyle L_ {y}.}$ Wynika z tego, że obraz dowolnego zbioru algebraicznego jest zbiorem algebraicznym, czyli że ${\ Displaystyle {\ overline {$ $}}}$ jest zamkniętą mapą dla topologii Zariski.

Głównym twierdzeniem teorii eliminacji jest szerokie uogólnienie tej własności.

Klasyczna formuła

Aby sformułować twierdzenie w kategoriach algebry przemiennej , należy wziąć pod uwagę pierścień wielomianowy ${\ Displaystyle R [\ mathbf {x}] = R [x_ {1} ,\ldots ,x_{n}]}$ nad przemiennym pierścieniem noetherowskim $R$ i jednorodnym ideałem $I$ wygenerowanym przez jednorodne wielomiany ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k}.}$ ( W oryginalnym dowodzie Macaulaya $k$ było równe $n$ , a $R$ był pierścieniem wielomianowym nad liczbami całkowitymi, których nieokreślonymi były wszystkie współczynniki ${\ Displaystyle f_ {i} \ operatorname {s}.}$ )

Każdy homomorfizm $K$ z $R$ do pola $definiuje$ homomorfizm pierścienia ${\ Displaystyle R [\ mathbf {x}] \ do K [\ mathbf {x} ]}$ (również oznaczane ), stosując współczynniki wielomianów. $Displaystyle$ $\ varphi}$

Twierdzenie brzmi: istnieje idealny w $r$ , jednoznacznie określony przez ja $,$ taki, że dla każdego homomorfizmu pierścienia $z$ ${\ displaystyle \ varphi}$ do $pola$ K $,$ ${\ Displaystyle \ varphi (f_ {1}), \ ldots, \ varphi (f_ {k})$ } mają nietrywialne wspólne zero (w domknięciu algebraicznym $K$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ varphi ({\ mathfrak {r}}) = \ {0 \}.}$

Ponadto $r}} = 0}$ $,$ jeśli $k < n$ i jest głównym , jeśli $k = n$ . W ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k}.}$ przypadku generator nazywany jest wypadkową z $.$

Wskazówki dotyczące dowodu i związanych z nim wyników

Korzystając z powyższej notacji, należy najpierw scharakteryzować warunek, który $\ varphi (f_ {k})}$ , nie mają żadnego nietrywialnego wspólnego zera. Dzieje się tak, jeśli maksymalny jednorodny ideał ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} = \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle}$ jest jedynym jednorodnym ideałem pierwszym zawierającym ${\ Displaystyle \ varphi (I) = \ langle \ varphi (f_ {1}), \ ldots, \ varphi (f_ {k}) \ rangle.} Nullstellensatz$ Hilberta twierdzi, że tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ varphi (I)}$ zawiera potęgę każdego ${\ Displaystyle x_ {i},}$ lub równoważnie, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {d} \ subseteq \ varphi (I)}$ dla pewnej dodatniej liczby całkowitej $re$ .

Do tego badania Macaulay wprowadził macierz, która jest obecnie nazywana macierzą Macaulaya w stopniu $d$ . Jego wiersze są indeksowane przez jednomiany stopnia $d$ w ${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}},$ a jego kolumny są wektorami współczynników na podstawie jednomianu postaci ${\ Displaystyle m \ varphi (f_ {i}),}$ gdzie $m$ jest jednomianem stopnia ${\ Displaystyle d- \ deg (f_ {i}).}$ Jeden ma ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {d} \ subseteq \ varphi (I)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ranga macierzy Macaulaya jest równa liczbie jej wierszy.

Jeśli $k < n$ , rząd macierzy Macaulaya jest niższy niż liczba jej wierszy dla każdego $re$ , a zatem ${\ Displaystyle \ varphi (f_ {1} ),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ mają zawsze nietrywialne wspólne zero.

${\ Displaystyle d_ {2} \ geq d_ {3} \ geq \ cdots \ geq d_ {k} \ geq d_ {1}.}$ przeciwnym razie niech $,$ $re$ i że indeksy są wybierane w takiej kolejności Stopień

{\ Displaystyle D = d_ {1} + d_ {2} + \ cdots + d_ { n}-n+1=1+\suma _{i=1}^{n}(d_{i}-1)}

nazywa się stopniem Macaulaya lub granicą Macaulaya , ponieważ Macaulaya udowodnił, że ${\ Displaystyle \ varphi (f_ {1}), \ ldots, \ varphi (f_ {k})}$ nietrywialne wspólne zero wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy Macaulaya w stopniu $D$ jest niższy niż liczba jej wierszy. Innymi słowy, powyższe $d$ może być raz na zawsze wybrane jako równe $D$ .

Dlatego ideał $mathfrak {r}}$ którego istnienie potwierdza główne twierdzenie teorii eliminacji, jest ideałem zerowym, jeśli $k < n$ , a poza tym jest generowany przez maksymalne mniejsze liczby r , {\ displaystyle {\ macierz Macaulaya w stopniu $D$ .

Jeśli $k = n$ , Macaulay udowodnił również, że jest ideałem głównym (chociaż $macierz Macaulaya$ w stopniu $D$ nie jest macierzą kwadratową, gdy $k > 2$ ), która jest generowana przez wynikową r {\ displaystyle z ${\ Displaystyle \ varphi (f_ {1}), \ ldots, \ varphi (f_ {n}).}$ Ten ideał jest również $φ$ $\varphi (f_{k})}$ … { \ Displaystyle \ $varphi (f_ {1}$ ) \ , jako nieokreślone.

Interpretacja geometryczna

W poprzednim sformułowaniu pierścień wielomianu ${\ Displaystyle R [\ mathbf {x}] = R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] }$ definiuje morfizm schematów (które są rozmaitościami algebraicznymi, jeśli $R$ jest skończenie generowane na ciele)

{\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {R} ^ {n-1} = \ operatorname {Proj} (R [\ mathbf {x}]) \ do \ operatorname {Spec} (R).}

Twierdzenie stwierdza, że obraz zbioru domkniętego Zariskiego $V (I)$ określonego przez $I$ jest zbiorem domkniętym $V (r)$ . Zatem morfizm jest domknięty.

Zobacz też

Mumford, David (1999). Czerwona księga odmian i schematów . Skoczek. ISBN 9783540632931 .
Eisenbud, Dawid (2013). Algebra przemienna: z widokiem na geometrię algebraiczną . Skoczek. ISBN 9781461253501 .
Milne, James S. (2014). „Dzieło Johna Tate'a”. Nagroda Abela 2008–2012 . Skoczek. ISBN 9783642394492 .