Gładka płaszczyzna rzutowa

W geometrii gładkie płaszczyzny rzutowe są specjalnymi płaszczyznami rzutowymi . Najbardziej znanym przykładem gładkiej płaszczyzny rzutowej jest ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ płaszczyzna rzutowa mi . Jego geometryczne operacje łączenia dwóch różnych punktów linią i przecinania dwóch prostych w jednym punkcie są nie tylko ciągłe, ale nawet gładkie (nieskończenie różniczkowalne ${\ displaystyle = C ^ {\ infty}}$ . Podobnie klasyczne płaszczyzny nad liczbami zespolonymi , tj quaternions , a octonions są gładkimi płaszczyznami. Jednak to nie jedyne takie samoloty.

Definicja i podstawowe właściwości

Gładka płaszczyzna rzutowa składa się z przestrzeni punktowej i przestrzeni liniowej ${\ mathcal {P}} = (P, {\ mathfrak {L}}}$$Displaystyle$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ , które są gładkimi rozmaitościami i gdzie obie geometryczne operacje łączenia i przecinania są gładkie.

Operacje geometryczne gładkich płaszczyzn są ciągłe; stąd każda gładka płaszczyzna jest zwartą płaszczyzną topologiczną. Gładkie płaszczyzny istnieją tylko z przestrzeniami punktowymi o wymiarze 2 ^m , gdzie ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik m \ równoważnik 4}$ , ponieważ dotyczy to zwartych połączonych rzutowych płaszczyzn topologicznych. Te cztery przypadki zostaną omówione osobno poniżej.

Twierdzenie. Rozmaitość punktowa gładkiej płaszczyzny rzutowej jest homeomorficzna w stosunku do jej klasycznego odpowiednika, podobnie jak rozmaitość liniowa .

Automorfizmy

Automorfizmy odgrywają kluczową rolę w badaniu gładkich płaszczyzn. Bijekcja zbioru punktów płaszczyzny rzutowej nazywana jest kolineacją , jeśli odwzorowuje linie na proste. Ciągłe kolineacje zwartej płaszczyzny rzutowej $tworzą$ grupę $mathcal {P}}}$ . Ta grupa jest brana za pomocą topologii zbieżności jednostajnej . Mamy:

Twierdzenie. Jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = (P, {\ mathfrak {L}})} jest$$kolineacja }}}$ płaszczyzną, to każda ciągła jest gładka ; innymi słowy, grupa automorfizmów gładkiej płaszczyzny pokrywa się z $operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$$Displaystyle$ . Co więcej, ${\ mathfrak {L}}}$${Aut} {\ mathcal {P}}}$ to gładka grupa transformacji Lie z i $displaystyle$ .

Grupy automorfizmów czterech płaszczyzn klasycznych to proste grupy Liego o wymiarze odpowiednio 8, 16, 35 lub 78. Wszystkie inne płaszczyzny gładkie mają znacznie mniejsze grupy. Zobacz poniżej.

Płaszczyzny translacji

Płaszczyzna rzutowa nazywana jest płaszczyzną translacji , jeśli jej grupa automorfizmów ma podgrupę, która ustala każdy punkt na jakiejś linii i działa ostro przechodnio na zbiorze punktów nie na $W}$ \ $displaystyle$

Twierdzenie. Każda gładka rzutowa płaszczyzna translacji $izomorficzna$ z jedną z czterech klasycznych płaszczyzn .

To pokazuje, że istnieje wiele zwartych, połączonych topologicznych płaszczyzn rzutowych, które nie są gładkie. Z drugiej strony następująca konstrukcja daje rzeczywiste analityczne płaszczyzny niedesargueskie o wymiarach 2, 4 i 8, ze zwartą grupą automorfizmów odpowiednio o wymiarach 1, 4 i 13: reprezentuj punkty i linie w zwykły sposób przez jednorodne współrzędne liczb rzeczywistych lub zespolonych lub kwaternionów , powiedzmy, za pomocą wektorów o długości ${\ displaystyle 1}$ . Wtedy częstość występowania punktu ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ i linia ${\ Displaystyle (a, b, c)}$ jest określona przez ${\ Displaystyle ax + by + cz = t | c | ^ {2} | z | ^ {2} cz}$ t $\ displaystyle t}$ jest ustalonym parametrem rzeczywistym takim, że ${\ Displaystyle | t | <1/9}$ . Te samoloty są samodualne.

Płaszczyzny 2-wymiarowe

Zwarte dwuwymiarowe płaszczyzny rzutowe można opisać w następujący sposób: przestrzeń punktowa jest zwartą $powierzchnią$ , każda linia jest krzywą Jordana w (zamknięty podzbiór homeomorficzny do koła) $\ displaystyle S}$ , a dowolne dwa różne punkty są połączone niepowtarzalną linią. Wtedy jest homeomorficzny z przestrzenią punktów płaszczyzny rzeczywistej $}$$dowolne$ dwie różne linie przecinają się w unikalnym punkcie, a operacje geometryczne są ciągłe (zastosuj S {\ displaystyle Salzmanna i in. 1995 , §31 do uzupełnienia wiersza). Znaną rodzinę przykładów podał Moulton w 1902 roku. Płaszczyzny te charakteryzują się tym, że mają 4-wymiarową grupę automorfizmów. Nie są izomorficzne z gładką płaszczyzną. Mówiąc bardziej ogólnie, wszystkie nieklasyczne zwarte dwuwymiarowe płaszczyzny $takie$ , że $\ dim \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}} \geq 3}$ są jawnie znane; żaden z nich nie jest gładki:

Twierdzenie. P. ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ jest gładką dwuwymiarową płaszczyzną i jeśli $mathcal {P}} \ geq 3}$ , to jest ${$ płaszczyzną rzeczywistą $\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ .

Płaszczyzny 4-wymiarowe

Wszystkie zwarte płaszczyzny z 4-wymiarową przestrzenią punktową i $Aut$$} \ geq 7}$ Aut } {\ mathcal {P . Aż do dualności są to albo płaszczyzny translacji, albo są izomorficzne z unikalną tak zwaną płaszczyzną przesunięcia. Według Bödiego (1996 , rozdz. 10) ta płaszczyzna przesunięcia nie jest gładka. Stąd wynik na płaszczyznach translacji implikuje:

Twierdzenie. Gładka 4-wymiarowa płaszczyzna jest izomorficzna z klasyczną płaszczyzną zespoloną lub ${\ Displaystyle \ dim \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}} \ równoważnik 6}$ .

8-wymiarowe płaszczyzny

$.$ 8-wymiarowe płaszczyzny topologiczne zostały omówione w Salzmann et al (1995 , rozdział 8), a ostatnio w Salzmann (2014) . Σ $} {\ mathcal {P}}}$ . Albo jest klasyczną płaszczyzną kwaternionu, albo $dim$$\ Sigma \ leq 18}$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 17}$$,$ to jest translacji, podwójną płaszczyzną translacji lub płaszczyzną Hughesa. Tę ostatnią można scharakteryzować w następujący sposób: $pozostawia$ pewną klasyczną złożoną podpłaszczyznę niezmienną i indukuje na do $}$$}}$ połączony składnik jego pełnej grupy automorfizmów. Płaszczyzny Hughesa nie są gładkie. Daje to wynik podobny do przypadku płaszczyzn 4-wymiarowych:

Twierdzenie. Jeśli jest gładką 8-wymiarową płaszczyzną, to $jest$$Displaystyle \ dim \Sigma \leq 16}$ płaszczyzną kwaternionów lub $dim$ .

16-wymiarowe płaszczyzny

Niech oznacza grupę automorfizmów zwartej 16-wymiarowej topologicznej płaszczyzny rzutowej ${$$\ mathcal {P}}}$ . Albo $jest$ gładką klasyczną płaszczyzną octonionową, albo ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ leq 40$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 40}$ , to naprawia linię ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle W}$$jej$ punkt i $płaszczyzna afiniczna$ i Jeśli ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 39}$$,$${\ mathcal {P}}},$ { \ ani ${\ Displaystyle \ Sigma}$ są jawnie znane. Niemniej jednak żadna z tych płaszczyzn nie może być gładka:

Twierdzenie. Jeśli jest 16-wymiarową gładką płaszczyzną $rzutową$ , to $\ Displaystyle \ dim \Sigma \leq 38}$$klasyczną$ płaszczyzną octonion lub .

Główne twierdzenie

Ostatnie cztery wyniki łączą się, dając następujące twierdzenie:

Jeśli $Displaystyle$ największą wartością $\ dim \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$ , gdzie $\ Displaystyle {\ mathcal {P. }}}$ jest nieklasyczną zwartą topologiczną płaszczyzną rzutową o wymiarach 2 ^m , a następnie ${\ Displaystyle \ dim \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}} \ równoważnik c_ {m }-2}$ kiedykolwiek $gładki$ .

Złożone płaszczyzny analityczne

Warunek, że operacje geometryczne płaszczyzny rzutowej są zespolone analitycznie, jest bardzo restrykcyjny. W rzeczywistości jest spełniony tylko w klasycznej płaszczyźnie zespolonej.

Twierdzenie. Każda zespolona analityczna płaszczyzna rzutowa jest izomorficzna jako płaszczyzna analityczna z płaszczyzną zespoloną z jej standardową strukturą analityczną .

Notatki

• Bödi, R. (1996), „Gładkie stabilne i rzutowe płaszczyzny” , Thesis, Tybinga
• Salzmann, H.; Betten, D.; Grundhofer, T.; Hahl, H.; Löwen, R.; Stroppel, M. (1995), Kompaktowe płaszczyzny rzutowe , W. de Gruyter
• Salzmann, H. (2014), Samoloty kompaktowe, głównie 8-wymiarowe. Retrospekcja , arXiv : 1402.0304 , Bibcode : 2014arXiv1402.0304S