Gaz fotonowy

W fizyce gaz fotonowy to podobny do gazu zbiór fotonów , który ma wiele takich samych właściwości jak konwencjonalny gaz, taki jak wodór lub neon – w tym ciśnienie, temperatura i entropia. Najczęstszym przykładem gazu fotonowego w równowadze jest promieniowanie ciała doskonale czarnego .

Fotony należą do rodziny cząstek zwanych bozonami , cząstek, które podążają za statystyką Bosego-Einsteina i mają całkowity spin . Gaz bozonów z tylko jednym typem cząstek jest jednoznacznie opisany trzema funkcjami stanu, takimi jak temperatura , objętość i liczba cząstek . Jednak dla ciała doskonale czarnego energia rozkład jest ustalany przez oddziaływanie fotonów z materią, zwykle ściankami pojemnika. W tej interakcji liczba fotonów nie jest zachowana. W rezultacie potencjał chemiczny gazu fotonowego ciała doskonale czarnego wynosi zero w równowadze termodynamicznej. Liczba zmiennych stanu potrzebnych do opisania stanu ciała doskonale czarnego jest zatem zmniejszona z trzech do dwóch (np. temperatura i objętość).

Termodynamika gazu fotonowego ciała doskonale czarnego

W klasycznym gazie doskonałym z masywnymi cząstkami energia cząstek rozkłada się zgodnie z rozkładem Maxwella-Boltzmanna . Ten rozkład jest ustalany, gdy cząstki zderzają się ze sobą, wymieniając energię (i pęd) w procesie. W gazie fotonowym również będzie istniał rozkład równowagi, ale fotony nie zderzają się ze sobą (z wyjątkiem bardzo ekstremalnych warunków, patrz fizyka dwufotonowa ), więc rozkład równowagi musi być ustalony innymi sposobami. Najczęstszym sposobem ustalania rozkładu równowagi jest oddziaływanie fotonów z materią. Jeżeli fotony są absorbowane i emitowane przez ściany układu zawierającego gaz fotonowy, a ściany te mają określoną temperaturę, wówczas rozkład równowagowy fotonów będzie rozkładem ciała doskonale czarnego w tej temperaturze.

Bardzo ważną różnicą między gazem Bosego (gazem masywnych bozonów) a gazem fotonowym o rozkładzie ciała doskonale czarnego jest to, że liczba fotonów w układzie nie jest zachowana. Foton może zderzyć się z elektronem w ścianie, wzbudzając go do stanu o wyższej energii, usuwając foton z gazu fotonowego. Ten elektron może spaść z powrotem na niższy poziom w serii etapów, z których każdy uwalnia pojedynczy foton z powrotem do gazu fotonowego. Chociaż suma energii fotonów emitowanych fotonów jest takich samych jak foton absorbowany, liczba emitowanych fotonów będzie się różnić. Można wykazać, że w wyniku tego braku ograniczenia liczby fotonów w układzie potencjał chemiczny fotonów musi wynosić zero dla promieniowania ciała doskonale czarnego.

Termodynamikę gazu fotonowego ciała doskonale czarnego można wyprowadzić za pomocą argumentów mechaniki kwantowej . Wyprowadzenie daje widmową gęstość energii u , która jest energią na jednostkę objętości na jednostkowy przedział częstotliwości, określoną przez prawo Plancka :

${\ Displaystyle u (\ nu, T) = {\ Frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$ .

gdzie h to stała Plancka , c to prędkość światła, ν to częstotliwość, k to stała Boltzmanna, a T to temperatura.

Całkowanie po częstotliwości i mnożenie przez objętość V daje energię wewnętrzną gazu fotonowego ciała doskonale czarnego:

${\ Displaystyle U = \ lewo ({\ Frac {8 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15 (hc) ^ { 3}}}\right)VT^{4}}$ .

Wyprowadzenie daje również (oczekiwaną) liczbę fotonów N :

${\ Displaystyle N = \ lewo ({\ Frac {16 \ pi k ^ {3} \ zeta (3)} {(hc) ^{3}}}\right)VT^{3}}$ ,

gdzie $_$ funkcją _ _ Należy zauważyć, że dla określonej temperatury liczba cząstek N zmienia się wraz z objętością w ustalony sposób, dostosowując się do stałej gęstości fotonów.

Jeśli zauważymy, że równanie stanu dla ultrarelatywistycznego gazu kwantowego (który z natury opisuje fotony) jest dane przez

${\ Displaystyle U = 3PV}$ ,

następnie możemy połączyć powyższe wzory, aby uzyskać równanie stanu, które wygląda bardzo podobnie do równania gazu doskonałego:

${\ Displaystyle PV = {\ Frac {\ zeta (4)} {\ zeta (3)}} NkT \ około 0,9 \, NkT}$ .

Poniższa tabela podsumowuje termodynamiczne funkcje stanu dla gazu fotonowego ciała doskonale czarnego. Zauważ, $b$ można zapisać w postaci , która jest niezależna od objętości jest )

Termodynamiczne funkcje stanu dla gazu fotonowego ciała doskonale czarnego ${\ Displaystyle (\ hbar = h/2 \ pi)}$

	Funkcja stanu ( T , V )
Energia wewnętrzna	${\ Displaystyle U = \ lewo ({\ Frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {15c ^ {3} \ hbar ^ { 3}}}\prawo)\,VT^{4}}$
Liczba cząstek	${\ Displaystyle N = \ lewo ({\ Frac {2k ^ {3} \ zeta (3)} {\ pi ^ {2} c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}}$
Potencjał chemiczny	${\ Displaystyle \ mu = 0 \,}$
Ciśnienie	${\ Displaystyle P = {\ Frac {1} {3}} \, {\ Frac {U} {V}} = \ lewo ({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,T^{4}}$
Entropia	${\ Displaystyle S = {\ Frac {4U} {3T}} = \ lewo ({\ Frac {4 \ pi ^ { 2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}}$
Entalpia	${\ Displaystyle H = {\ Frac {4} {3}} \, U}$
Energia swobodna Helmholtza	${\ Displaystyle A = - {\ Frac {1} {3}} \, U}$
Energia swobodna Gibbsa	${\ Displaystyle G = 0 \,}$

Przemiany izotermiczne

Jako przykład procesu termodynamicznego z udziałem gazu fotonowego rozważ cylinder z ruchomym tłokiem. Wewnętrzne ściany cylindra są „czarne”, aby temperatura fotonów mogła być utrzymywana na określonym poziomie. Oznacza to, że przestrzeń wewnątrz cylindra będzie zawierała gaz fotonowy rozprowadzony w ciele doskonale czarnym. W przeciwieństwie do masywnego gazu, gaz ten będzie istniał bez fotonów wprowadzanych z zewnątrz – fotony będą dostarczane przez ściany. Załóżmy, że tłok jest wciskany do końca cylindra, tak że jego objętość jest bardzo mała. Gaz fotonowy wewnątrz objętości będzie naciskał na tłok, przesuwając go na zewnątrz, a aby przemiana była izotermiczna, na tłok trzeba będzie przyłożyć przeciwną siłę o prawie takiej samej wartości, aby ruch tłoka był bardzo wolno. Siła ta będzie równa naciskowi pomnożonemu przez pole przekroju poprzecznego ( A ) tłoka. Proces ten można kontynuować w stałej temperaturze, aż gaz fotonowy osiągnie objętość V ₀ . Całkowanie siły przez przebytą odległość ( x ) daje całkowitą pracę wykonaną w celu wytworzenia tego gazu fotonowego w tej objętości

${\ Displaystyle W = - \ int _ {0} ^ {x_ {0}} P (A \ operatorname {d} x)}$ ,

zastosowano zależność V = Ax . Definiowanie

${\ Displaystyle b = {\ Frac {8 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {3} h ^ {3}}}}$ .

Presja jest

${\ Displaystyle P (x) = {\ Frac {bT ^ {4}} {3}} \,}$ .

Integracja, wykonana praca jest sprawiedliwa

${\ Displaystyle W = - {\ Frac {bT ^ {4} Ax_ {0}} {3}} = - {\ Frac {bT ^ {4} }V_{0}}{3}}}$ .

Ilość ciepła, którą należy dodać, aby wytworzyć gaz, wynosi

${\ Displaystyle Q = UW = H_ {0} \,}$ .

gdzie H ₀ jest entalpią na końcu transformacji. Widać, że entalpia to ilość energii potrzebna do wytworzenia gazu fotonowego.

Zobacz też

• Gaz w pudełku – wyprowadzenie funkcji rozkładu dla wszystkich gazów doskonałych
• Gaz Bosego
• Gaz Fermiego
• Prawo Plancka dotyczące promieniowania ciała doskonale czarnego – rozkład energii fotonów w funkcji częstotliwości lub długości fali
• Prawo Stefana-Boltzmanna - całkowity strumień emitowany przez ciało doskonale czarne
• Ciśnienie promieniowania

Dalsza lektura

• Baierlein, Ralph (kwiecień 2001). „Nieuchwytny potencjał chemiczny” (PDF) . American Journal of Physics . 69 (4): 423–434. Bibcode : 2001AmJPh..69..423B . doi : 10.1119/1.1336839 .
• Herrmann, F.; Würfel, P. (sierpień 2005). „Światło o niezerowym potencjale chemicznym” (PDF) . American Journal of Physics . 73 (8): 717–723. Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119/1.1904623 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2016-03-04 . Źródło 2012-06-29 .