Geometria kombinatoryczna na płaszczyźnie

Kombinatorische Geometrie in der Ebene
Autorski	Hugo Hadwiger , Hans Debrunner
Tłumacz	Wiktor Klee
Język	Niemiecki
Temat	Dyskretna geometria
Wydawca	Uniwersytet Genewski
Data publikacji	1960

Kombinatoryczna geometria na płaszczyźnie to książka o geometrii dyskretnej . Został przetłumaczony z niemieckojęzycznej książki Kombinatorische Geometrie in der Ebene , którą jej autorzy, Hugo Hadwiger i Hans Debrunner, opublikowali na Uniwersytecie Genewskim w 1960 r., Rozszerzając artykuł przeglądowy z 1955 r., Który Hadwiger opublikował w L'Enseignement mathématique . Victor Klee przetłumaczył go na angielski i dodał rozdział nowego materiału. Został opublikowany w 1964 roku przez Holta, Rineharta i Winstona, a ponownie opublikowany w 1966 roku przez Dover Publications. Wydanie w języku rosyjskim, Комбинаторная геометрия плоскости , przetłumaczone przez IM Jagloma i zawierające podsumowanie nowego materiału Klee, zostało opublikowane przez Nauka w 1965 r. Komitet Listy Bibliotek Podstawowych Amerykańskiego Stowarzyszenia Matematycznego zalecił włączenie go do matematyki licencjackiej biblioteki.

Tematy

Pierwsza połowa książki zawiera twierdzenia prawie 100 twierdzeń w dyskretnej geometrii płaszczyzny euklidesowej , a druga połowa szkicuje ich dowody. Dodany przez Klee rozdział, leżący pomiędzy dwiema połówkami, zawiera kolejne 10 propozycji, w tym pewne uogólnienia do wyższych wymiarów, a książka kończy się szczegółową bibliografią jej tematów.

Wyniki w geometrii dyskretnej omówione w tej książce obejmują:

Twierdzenie Carathéodory'ego , że każdy punkt w otoczce wypukłej zbioru planarnego należy do trójkąta wyznaczonego przez trzy punkty zbioru, oraz twierdzenie Steinitza, że każdy punkt znajdujący się wewnątrz otoczki wypukłej jest wnętrzem otoczki wypukłej czterech punktów zbioru.
Erdősa – Anninga , że jeśli nieskończony zbiór punktów na płaszczyźnie ma całkowitą odległość między każdymi dwoma punktami, to wszystkie podane punkty muszą leżeć na jednej prostej.
Twierdzenie Helly'ego , że jeśli rodzina zwartych zbiorów wypukłych ma niepuste przecięcie dla każdej trójki zbiorów, to cała rodzina ma niepuste przecięcie.
Właściwość widoczności podobna do Helly'ego związana z twierdzeniem o galerii sztuki : jeśli każde trzy punkty wielokąta są widoczne z jakiegoś wspólnego punktu w obrębie wielokąta, to istnieje punkt, z którego widoczny jest cały wielokąt. W tym przypadku wielokąt musi być wielokątem w kształcie gwiazdy .
Niemożność pokrycia zamkniętego równoległoboku trzema przesuniętymi kopiami jego wnętrza oraz fakt, że każdy inny zwarty zbiór wypukły można w ten sposób pokryć.
Twierdzenie Junga , że (dla zbiorów na płaszczyźnie) promień najmniejszego otaczającego okręgu jest co najwyżej ${\ Displaystyle 1/ {\ sqrt {3}}}$ razy większy od średnicy. Ta granica jest ciasna dla trójkąta równobocznego .
Paradoksy rozkładu zbioru na mniejsze zbiory, związane z paradoksem Banacha-Tarskiego .
Twierdzenie Radona , że każde cztery punkty na płaszczyźnie można podzielić na dwa podzbiory z przecinającymi się otoczkami wypukłymi.
Lemat Spernera o kolorowaniu triangulacji.
Sylwestra -Gallaja w postaci, że jeśli skończony zbiór punktów na płaszczyźnie ma tę właściwość, że każda prosta przechodząca przez dwa punkty zawiera trzeci punkt ze zbioru, to wszystkie podane punkty muszą leżeć na jednej prostej.
Problem deski Tarskiego w postaci, że ilekroć dwa nieskończone paski razem pokrywają zwarty zbiór wypukły, ich całkowita szerokość jest co najmniej tak duża, jak szerokość najwęższego paska pokrywającego sam zbiór.
Ilekroć prosta jest pokryta dwoma domkniętymi podzbiorami, to co najmniej jeden z tych dwóch podzbiorów ma pary punktów we wszystkich możliwych odległościach.

Obejmuje również niektóre tematy, które należą do kombinatoryki, ale nie są z natury geometryczne, w tym:

Twierdzenie Halla o małżeństwie charakteryzujące grafy dwudzielne , które mają doskonałe dopasowanie .
Twierdzenie Ramseya , że jeśli $tylko$ $z$ nieskończonego zbioru punktów przypisano skończenie wiele kolorów, to nieskończony podzbiór ma krotki koloru.

Publiczność i odbiór

Książka jest napisana na poziomie odpowiednim dla studentów studiów licencjackich z matematyki i zakłada podstawową wiedzę z zakresu analizy rzeczywistej i geometrii na poziomie licencjackim. Jednym z celów książki jest pokazanie studentom tego poziomu problemów matematycznych na poziomie badawczym, których stwierdzenie jest łatwo dostępne.