Granica Poissona

W matematyce granica Poissona jest przestrzenią miar związaną z błądzeniem losowym . Jest to obiekt przeznaczony do kodowania asymptotycznego zachowania błądzenia losowego, czyli rozchodzenia się trajektorii, gdy liczba kroków zmierza do nieskończoności. Mimo że nazywa się ją granicą, jest to w ogólności obiekt czysto miarowo-teoretyczny, a nie granica w sensie topologicznym . Jednakże w przypadku, gdy błądzenie losowe odbywa się w przestrzeni topologicznej, granicę Poissona można powiązać z granicą Martina co jest konstrukcją analityczną dającą rzeczywistą granicę topologiczną. Obie granice są powiązane z funkcjami harmonicznymi w przestrzeni poprzez uogólnienia wzoru Poissona .

Przypadek płaszczyzny hiperbolicznej

Wzór Poissona stwierdza, że ​​biorąc pod uwagę dodatnią funkcję harmoniczną $,$ dysku jednostkowym ${\ Displaystyle \ mathbb {D} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}} (to znaczy Δ fa = {$ \ $f = 0}$ gdzie ${ \displaystyle \Delta }$ jest operatorem Laplace’a-Beltramiego powiązanym z metryką Poincarégo na $)$ istnieje $re$${\ Displaystyle \ częściowe \ mathbb {D} = \ {z \ w \ mathbb {C}: | z | = 1 \}}$ granicy tak, że równość

${\ Displaystyle f (z) = \ int _ {\ częściowe \ mathbb {D}} K (z, \ xi) \, d \ mu (\xi )}$ gdzie $| z | ^ {2}} {|\ xi -z | ^ {2}}}}$ 1- jądro Poissona ,

obowiązuje dla wszystkich. ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {D}}$ Jednym ze sposobów interpretacji tego jest to, że funkcje dla ${\ displaystyle \ xi \ in \ częściowe \ mathbb {D}}$ wynoszą $) {\ Displaystyle K (\ cdot, \ xi)$ skalowanie wszystkich skrajnych punktów stożka nieujemnych funkcji harmonicznych. Ta analityczna interpretacja zbioru prowadzi do bardziej ogólnego pojęcia: ${\ displaystyle \ częściowe \ mathbb {D}}$ minimalna granica Martina (która w tym przypadku jest pełną granicą Martina ).

Fakt ten można interpretować także probabilistycznie. Jeśli $to$ procesem Markowa powiązanym z ${\ displaystyle f(W_{t})} jest$$) ,$ . ruchem Browna na dysku z metryką Poincarégo Riemanna proces martyngałem w czasie ciągłym i jako taki zbiega się prawie wszędzie do funkcji w przestrzeni Wienera możliwych (nieskończonych) trajektorii $displaystyle W_ {t}}$ \ Zatem wzór Poissona identyfikuje tę mierzoną przestrzeń za pomocą granicy Martina skonstruowanej powyżej i ostatecznie jest $ścieżka$ klasę miary Lebesgue'a (zauważ, że tej identyfikacji można dokonać bezpośrednio, ponieważ w przestrzeni Wienera zbiega się prawie na pewno do punktu na ${\ displaystyle \ częściowe \ mathbb {D}$ } Ta interpretacja ${\ displaystyle \ częściowe \ mathbb {D}}$ ponieważ przestrzeń trajektorii procesu Markowa jest szczególnym przypadkiem konstrukcji granicy Poissona.

$.$ Ograniczać się do przypadkowych spacerów po orbitach grupy Fuchsa działającej na . Daje to identyfikację ekstremalnych dodatnich funkcji harmonicznych w grupie oraz przestrzeni trajektorii błądzenia losowego w grupie (oba w odniesieniu do danej miary prawdopodobieństwa) z przestrzenią topologiczną / mierzoną. re {\ displaystyle $mathbb {D} }$ .

Definicja

Granica Poissona błądzenia losowego w grupie dyskretnej

Niech $będzie$ dyskretną grupą i $displaystyle$$,$ na która zostanie użyta do zdefiniowania spaceru losowego $G}$ \ (proces Markowa w czasie dyskretnym, którego prawdopodobieństwa przejścia wynoszą $sol {\ displaystyle G$${\ Displaystyle p (x, y) = \ mu (xy ^ {- 1})})$ ; miara nazywana jest $.$ kroków dla spaceru losowego Niech $będzie$ kolejną miarą , która $.$ stanem początkowym spaceru Przestrzeń trajektorii dla ${\ displaystyle X_ {t}}$$jest$ wyposażona w miarę ${P} _ {m}}$ którego krańce wynoszą (gdzie $oznacza splot miar; jest to rozkład błądzenia losowego po krokach m ∗ μ ∗ n$ { \ displaystyle m $*$$}$ ). Istnieje również relacja równoważności $,$$która$ identyfikuje $})$ x_ { } $})}$$+ m}}$ istnieje taki że ${N}} x_ {t +$$mathbb$$trajektorie$ dla wszystkich (obie mają ten sam „ogon”). Granica Poissona _ jest wówczas zmierzoną przestrzenią $\$$Displaystyle (G ^ {\ mathbb {N}}, \ mathbb {P} _ {m}}}$ iloraz $m$ według relacji równoważności ${\ displaystyle \ sim}$ .

Jeśli $theta$ początkowym rozkładem spaceru losowego z rozkładem schodkowym, to $miara$ θ $}$$displaystyle$$uzyskany$ jako krok Jest to miara stacjonarna, co oznacza, że ${\ displaystyle (G, \ mu)}$

${\ Displaystyle \ int _ {G} \ nu (g ^ {- 1} A) \ mu (g) ​​= \ nu _ {\ theta} (A).}$

Możliwe jest podanie ukrytej definicji granicy Poissona jako maksymalnej miary $-zestawu,$${\ displaystyle (G, \ mu)}$ którym za -stacjonarna miara ${\ displaystyle \ nu}$$,$ spełniając dodatkowy warunek, który zbiega się masy Diraca

Wzór Poissona

Niech będzie za ${\ displaystyle \sum _{h\in G}f(hg)\mu (h)=f(g)}$$\ displaystyle$$\ mu}$ harmoniczną na , co oznacza $sol$ że . Następnie zmienna losowa ${\ displaystyle f (X_ {t})}$ jest martyngałem w czasie dyskretnym, więc jest zbieżny prawie na pewno. Oznacz przez funkcję na uzyskaną poprzez $}$ granicy wartości wzdłuż trajektorii (jest to zdefiniowana prawie wszędzie na $f}}$$\ displaystyle {\ hat$${\ displaystyle G ^ {\ mathbb {N}}}$ i niezmiennik przesunięcia). Niech i $}$$in G$ będzie miarą uzyskaną przez zwężenie powyżej z $)$ Diraca przy $displaystyle x}$ . Jeśli jest albo dodatnia, albo ograniczona, to $również$ jest i mamy wzór Poissona : $kapelusz {f}}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {\ Gamma} {\ kapelusz {f}} (\ gamma) \, d \ nu _ {x} (\ gamma).}$

$ustanawia$ bijekcję między $-harmonicznie$ i zasadniczo ograniczonymi funkcjami mierzalnymi na . W szczególności granica Poissona $, czyli$$wtedy,$ gdy jedyna ograniczona działa na ${\ displaystyle G}$ są stałe.

Ogólna definicja

Ogólne ustawienie dotyczy operatora Markowa na mierzonej przestrzeni, co uogólnia $spacerowaniem$ przypadkowym Duża część teorii może zostać rozwinięta w tym abstrakcyjnym i bardzo ogólnym kontekście.

Granica Martina

Granica Martina grupy dyskretnej

Niech $dyskretnej$ przypadkowym spacerem po Niech będzie prawdopodobieństwem przejścia od $p n ( x , y ) {$${\ displaystyle x}$ { $displaystyle y}$ krokach $displaystyle p_ {n} (x,$ tj. ${\ Displaystyle \ mu ^ {* n} (x ^ {- 1} y)}$ . Zielone jądro jest z definicji:

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (x, y) = \ suma _ {n \ geq 1} p_ {n} (x, y).}$

Jeśli spacer jest przejściowy, to szereg ten jest zbieżny dla wszystkich . $displaystyle x, y}$ \ Ustal punkt i $zdefiniuj$ jądro Martina przez: ${\ mathcal {K} }_{o}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}(x,y)}{{\mathcal {G}}(o,y)}}}$ . Osadzanie ${\ Displaystyle y \ mapsto {\ mathcal {K}} _ {o} (\ cdot, y)}$ ma stosunkowo zwarty obraz topologii zbieżności punktowej, a zagęszczenie Martina to zamknięcie tego obrazu. Punkt jest zwykle reprezentowany przez notację. $mathcal {K}} (\ cdot, \$$Displaystyle {$ .

$. }$ to znaczy dla każdej dodatniej funkcji harmonicznej istnieje na tak, że wzór podobny do Poissona posiada: ${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle f (x) = \ int {\ mathcal {K}} _ {o} (x, \ gamma) \, d \ nu _ {o, f} (\ gamma).}$

Miary $. Mówi się, że$ obsługiwane na minimalnej granicy Martina, również scharakteryzować jako minimalne dodatnia funkcja harmoniczna $≤$ , jeśli dla dowolnej funkcji harmonicznej z istnieje do $równoważnik u}$$displaystyle 0 \ równoważnik v$ do ${\ Displaystyle c \ w [0,1]}$ tak, że $\ displaystyle v = cu}$ .

Właściwie istnieje cała rodzina zagęszczeń Martina. Zdefiniuj serię generującą Green jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {r} (x, y) = \ suma _ {n \ geq 1} p_ {n} (x, y) r ^ {n}.}$

Oznacz przez $}$ tego szeregu potęgowego i zdefiniuj Martina przez $,$$displaystyle$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} _ {o, r} (x, y) = {\ Frac {{\ mathcal {G}} _ {r} (x, y)} {{\ mathcal {G} }_{r}(o,y)}}}$ . Zamknięcie osadzania nazywa się ${\ Displaystyle y \ mapsto {\ mathcal {K}} _ {o, r} (\ cdot, y)}$${\ displaystyle r }$ -Zagęszczenie Martina.

Granica Martina rozmaitości Riemanna

W przypadku rozmaitości Riemanna granica Martina jest konstruowana, jeśli istnieje, w taki sam sposób jak powyżej, przy użyciu funkcji Greena operatora Laplace'a $Beltramiego$ . W $displaystyle 0 \ równoważnik \ lambda \ równoważnik \ lambda _$ przypadku ponownie istnieje cała rodzina zagęszczeń Martina powiązanych z operatorami dla $\$ gdzie ${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$ to dół spektrum. Przykładami, gdzie można zastosować tę konstrukcję do zdefiniowania zagęszczenia, są domeny ograniczone w płaszczyźnie i przestrzenie symetryczne typu niezwartego.

Zależność granic Martina i Poissona

Miara odpowiadająca funkcji stałej nazywana jest $.$ na Przy tej mierze granica Martina jest izomorficzna z granicą Poissona.

Przykłady

Grupy nilpotentne

Granice Poissona i Martina są trywialne w przypadku symetrycznych spacerów losowych w grupach nilpotentnych. Z drugiej strony, gdy błądzenie losowe nie jest wyśrodkowane, badanie pełnej granicy Martina, łącznie z funkcjami minimalnymi, jest znacznie mniej rozstrzygające.

Grupy Liego i dyskretne podgrupy

W przypadku spacerów losowych w półprostej grupie Liego (z rozkładem kroków absolutnie ciągłym względem miary Haara) granica Poissona jest równa granicy Furstenberga . Granica Poissona ruchu Browna w powiązanej przestrzeni symetrycznej jest również granicą Furstenberga. Pełna granica Martina jest również dobrze zbadana w tych przypadkach i zawsze można ją opisać w sposób geometryczny. Przykładowo dla grup pierwszego rzędu (np. grup izometrycznych przestrzeni hiperbolicznych ) pełna granica Martina jest taka sama jak minimalna granica Martina (sytuacja w grupach wyższego rzędu jest bardziej skomplikowana).

Granica Poissona podgrupy o gęstości Zariski'ego półprostej grupy Liego, na przykład kraty , jest również równa granicy Furstenberga grupy.

Grupy hiperboliczne

W przypadku spacerów losowych po grupie hiperbolicznej , przy raczej słabych założeniach dotyczących rozkładu schodkowego, które zawsze obowiązują dla prostego spaceru (bardziej ogólny warunek jest taki, że pierwszy moment jest skończony), granica Poissona jest zawsze równa granicy Gromova. Na przykład granica Poissona wolnej grupy jest przestrzenią końców jej drzewa Cayleya. Bardziej skomplikowana jest identyfikacja pełnej granicy Martina; w przypadku, gdy błądzenie losowe ma skończony zasięg (rozkład kroków jest obsługiwany na skończonym zbiorze), granica Martina pokrywa się z minimalną granicą Martina i obie pokrywają się z granicą Gromowa.

Notatki

•   Ballmann, Werner; Ledrappier, Francois (1994). „Granica Poissona dla rozmaitości pierwszego stopnia i ich współzwartych sieci”. Forum Matematyka . Tom. 6, nie. 3. s. 301–313. MR 1269841 .
•   Furstenberg, Harry (1963). „Wzór Poissona dla półprostych grup Liego”. Anna. matematyki . 2. Cz. 77. s. 335–386. MR 0146298 .
• Guivarc'ch, Yves; Ji, Lizhen; Taylora, Johna C. (1998). Zagęszczenia przestrzeni symetrycznych . Birkhausera.
•   Kaimanovich, Vadim A. (1996). „Granice niezmienniczych operatorów Markowa: problem identyfikacji”. W Pollicott, Mark; Schmidt, Klaus (red.). Ergodyczna teoria działań Z ^d (Warwick, 1993–1994) . Londyn, matematyka. Towarzystwo Notatka z wykładu Ser. Tom. 228. Uniwersytet Cambridge Prasa, Cambridge. s. 127–176. MR 1411218 .
•   Kaimanovich, Vadim A. (2000). „Wzór Poissona dla grup o właściwościach hiperbolicznych”. Anna. matematyki . 2. Cz. 152. s. 659–692. MR 1815698 .