Granica ultrarelatywistyczna

W fizyce cząsteczkę nazywamy ultrarelatywistyczną , gdy jej prędkość jest bardzo bliska prędkości światła $c$ .

Wyrażenie na energię relatywistyczną cząstki o masie spoczynkowej $m$ i pędzie $p$ wyraża się wzorem

{\ Displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}.}

Energia ultrarelatywistycznej cząstki jest prawie całkowicie związana z jej pędem ( $pc ≫ mc 2$ ), a zatem może być przybliżona wzorem $E = pc$ . Może to wynikać z utrzymywania stałej masy i zwiększania $p$ do bardzo dużych wartości (zwykły przypadek); lub utrzymując stałą energię $E$ i zmniejszając masę $m$ do wartości znikomych. Ten ostatni służy do wyznaczania orbit cząstek bezmasowych, takich jak foton , z orbit cząstek masywnych (por. Problem Keplera w ogólnej teorii względności ).

Ogólnie rzecz biorąc, ultrarelatywistyczna granica wyrażenia jest wynikowym wyrażeniem uproszczonym, gdy przyjmuje się, że ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}}$ Lub podobnie w granicy, w której czynnik Lorentza ${\ Displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$ jest bardzo duży ( ${\ Displaystyle \ gamma \ gg 1}$ ).

Wyrażenie zawierające wartość masy

Chociaż możliwe jest użycie przybliżenia $masie$ to wszystkie informacje W niektórych przypadkach, nawet przy $masy$ nie można zignorować, jak w przypadku wyprowadzania . Prostym sposobem na zachowanie tej masy informacji jest użycie rozwinięcia Taylora zamiast prostej granicy. Poniższe wyprowadzenie zakłada (i ultrarelatywistyczną granicę ${\ displaystyle c = 1$ ${\ Displaystyle PC \ gg mc ^ {2}}$ ). Bez utraty ogólności, to $terminy$ można pokazać, uwzględniając odpowiednie .

Pochodzenie

${\ Displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$
${\ Displaystyle E = p (1 + {\ Frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}}) ^ {1/2}}$

Wyrażenie ogólne można rozwinąć Taylora, dając: $(1 + x) ^ {1/2}}$

${\ Displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 + {\ Frac {x ^ {2}} {2}} - {\ Frac {x ^ {4}} {8}} +...}$

$}$ terminów, można to zastąpić powyższym wyrażeniem (z działającym jako ) , jako: ${\ displaystyle {\ frac {m} {p}}$

${\ Displaystyle E = p (1 + {\ Frac {m ^ {2}} {2 p ^ {2}}})}$
${\ Displaystyle E = p + {\ Frac {m ^ {2}} {2p}}}$

Przybliżenia ultrarelatywistyczne

Poniżej znajduje się kilka ultrarelatywistycznych przybliżeń w jednostkach z $c = 1$ . Szybkość jest oznaczona $φ$ :

$.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1 - v ≈ 1 ⁄ 2 γ 2$
$mi - p = mi (1 - v) \approx m 2 ⁄ 2 mi = m ⁄ 2 γ$
$φ \approx ln(2 γ)$
Ruch ze stałym przyspieszeniem właściwym: $d \approx e aτ /(2 a)$ , gdzie $d$ to przebyta droga, $a = dφ / dτ$ to przyspieszenie własne (przy $aτ ≫ 1$ ), $τ$ to czas własny, a podróż rozpoczyna się w spoczynku i bez zmiana kierunku przyspieszenia ( więcej szczegółów w odpowiednim przyspieszeniu ).
Stała kolizja celu z ultrarelatywistycznym ruchem środka masy: $E CM \approx \sqrt 2 E 1 E 2$ gdzie $E 1$ i $E 2$ to odpowiednio energie cząstki i celu (więc $E 1 ≫ E 2$ ), a $E CM$ to energia w środku ramki bryłowej.

Dokładność przybliżenia

Dla obliczeń energii cząstki błąd względny granicy ultrarelatywistycznej dla prędkości $v = 0,95 c$ wynosi około $10$ %, a dla $v = 0,99 c$ tylko $2$ %. W przypadku cząstek takich jak neutrina , których $γ$ ( współczynnik Lorentza ) wynosi zwykle powyżej $106$ ( $v$ praktycznie nie do odróżnienia od $c$ ), przybliżenie jest zasadniczo dokładne.

Inne ograniczenia

Przypadek odwrotny ( $pc ≪ mc 2$ ) to tak zwana cząstka klasyczna , której prędkość jest znacznie mniejsza niż $c$ , więc jej energię można przybliżyć wzorem $E = mc 2 + p 2 ⁄ 2 m$ .

Zobacz też

Notatki

Dieckmann, ME (2005). „Symulacja cząstek ultrarelatywistycznej niestabilności dwustrumieniowej”. fizyka Wielebny Lett . 94 (15): 155001. Bibcode : 2005PhRvL..94o5001D . doi : 10.1103/PhysRevLett.94.155001 . PMID 15904153 .