Grupa odrzutowa

W matematyce grupa dżetów jest uogólnieniem ogólnej grupy liniowej , która dotyczy wielomianów Taylora zamiast wektorów w punkcie. Grupa dżetów to grupa dżetów , która opisuje, w jaki sposób wielomian Taylora przekształca się pod wpływem zmian układów współrzędnych (lub równoważnie dyfeomorfizmów ).

Przegląd

Grupa dżetów k -tego rzędu G ⁿ _k składa się z dżetów o gładkich dyfeomorfizmach φ: R ⁿ → R ⁿ takich, że φ(0)=0.

Poniżej znajduje się dokładniejsza definicja grupy odrzutowej.

Niech k ≥ 2. Różniczkę funkcji f: R ^k → R można interpretować jako odcinek wiązki kostycznej R ^K danej przez df: R ^k → T* R ^k . Podobnie pochodne rzędu do m są przekrojami wiązki dżetów J ^m ( R ^k ) = R ^k × W , gdzie

${\ Displaystyle W = \ mathbf {R} \ razy (\ mathbf {R} ^ {*}) ^ {k} \ razy S ^ {2} ((\ mathbf {R} ^ {*}) ^ {k} )\times \cdots \times S^{m}((\mathbf {R} ^{*})^{k}).}$

Tutaj R * jest dualną przestrzenią wektorową do R , a S ⁱ oznacza i -tą potęgę symetryczną . Gładka funkcja f: R ^k → R ma przedłużenie j ^m f : R ^k → J ^m ( R ^k ) określone w każdym punkcie p ∈ R ^k przez umieszczenie i -tej części składowej f w p w składowej Si ⁽ ( R *) ^k ) W .

Rozważmy punkt ${\ Displaystyle p = (x, x ') \ w J ^ {m} (\ mathbf {R} ^ {n})}$ . Istnieje unikalny wielomian f _p w k zmiennych i rzędu m taki, że p jest obrazem j ^m f _p . To znaczy ${\ Displaystyle j ^ {k} (f_ {p}) (x) = x '}$ . Dane różniczkowe x′ mogą zostać przeniesione tak, aby leżały nad innym punktem y ∈ R ⁿ jako j ^m f _p (y) , części składowe f _p nad y .

Dostarcz J ^m ( R ⁿ ) strukturę grupową, biorąc

${\ Displaystyle (x, x ') * (y, y') = (x + y,j^{m}f_{p}(y)+y')}$

Przy tej strukturze grupowej J ^m ( R ⁿ ) jest grupą Carnota klasy m + 1.

Ze względu na właściwości dżetów w funkcji składu , G ⁿ _k jest grupą Liego . Grupa dżetów jest półprostym iloczynem ogólnej grupy liniowej i połączonej, po prostu połączonej nilpotentnej grupy Liego . W rzeczywistości jest to również grupa algebraiczna , ponieważ składa się tylko z operacji wielomianowych.

Notatki

• Kolář, Ivan; Michał, Piotr; Slovák, Jan (1993), Operacje naturalne w geometrii różniczkowej (PDF) , Springer-Verlag, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2017-03-30 , pobrane 2014-05-02
•   Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Wykłady o niezmiennikach różniczkowych , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
•   Saunders, DJ (1989), Geometria wiązek odrzutowych , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7