Hamiltonowska mechanika płynów

Hamiltonowska mechanika płynów to zastosowanie metod Hamiltona do mechaniki płynów . Należy zauważyć, że ten formalizm dotyczy tylko płynów nie rozpraszających .

Bezrotacyjny przepływ barotropowy

Weźmy prosty przykład barotropowego , nielepkiego płynu wolnego od wirowości .

Wówczas pola sprzężone to pole gęstości masy ρ i potencjał prędkości φ . Nawias Poissona jest określony przez

${\ Displaystyle \ {\ rho ({\ vec {y}}), \ varphi ({\ vec {x}} )\}=\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {y}})}$

i hamiltonian przez:

${\ Displaystyle H = \ int \ operatorname {d} ^ {d} x {\ mathcal {H }}=\int \mathrm {d} ^{d}x\left({\frac {1}{2}}\rho (\nabla \varphi)^{2}+e(\rho)\right), }$

gdzie e jest wewnętrzną gęstością energii jako funkcją ρ . Dla tego przepływu barotropowego energia wewnętrzna jest powiązana z ciśnieniem p przez:

${\ Displaystyle e '' = {\ Frac {1} {\ rho}} p ',}$

gdzie apostrof ('), oznacza zróżnicowanie względem ρ .

Ta hamiltonowska struktura prowadzi do następujących dwóch równań ruchu :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe \ rho} {\ częściowe t}} & = + {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {H}}} {\ częściowe \ varphi}} = - \nabla \cdot (\rho {\vec {u}}),\\{\frac {\częściowe \varphi}}{\częściowe t}}&=-{\frac {\częściowe {\mathcal {H}}} {\częściowe \rho}}=-{\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-e',\end{wyrównane}}}$

gdzie $\ Displaystyle {\ vec {u}} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ \ nabla \ varphi}$ to prędkość i jest wolna od wirowości . Drugie równanie prowadzi do równań Eulera :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {\ vec {u}}} {\ częściowe t}} + ({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {u}}=-e''\nabla \rho =-{\frac {1}{\rho}}\nabla {p}}$

po wykorzystaniu faktu, że wirowość wynosi zero:

${\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ vec {u}} = {\ vec {0}}.}$

Ponieważ dynamika płynów jest opisana przez dynamikę niekanoniczną, która posiada nieskończoną liczbę niezmienników Casimira, alternatywne sformułowanie hamiltonowskiego sformułowania dynamiki płynów można wprowadzić za pomocą mechaniki Nambu

Zobacz też

• Zasada wariacyjna Łukasza
• Hamiltonowska teoria pola

Notatki

•    Badin, Gualtiero; Crisciani, Fulvio (2018). Wariacyjne formułowanie płynów i geofizycznej dynamiki płynów - mechanika, symetrie i prawa zachowania - . Skoczek. P. 218. doi : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5 . S2CID 125902566 .
• Morrison, PJ (2006). „Hamiltonowska mechanika płynów” (PDF) . W Elsevier (red.). Encyklopedia fizyki matematycznej . Tom. 2. Amsterdamu. s. 593–600.
• Morrison, PJ (kwiecień 1998). „Hamiltonowski opis płynu doskonałego” (PDF) . Recenzje współczesnej fizyki . Austin w Teksasie. 70 (2): 467–521. Bibcode : 1998RvMP...70..467M . doi : 10.1103/RevModPhys.70.467 . hdl : 2152/61087 .
• Łosoś R. (1988). „Hamiltonowska mechanika płynów” . Roczny przegląd mechaniki płynów . 20 : 225–256. Bibcode : 1988AnRFM..20..225S . doi : 10.1146/annurev.fl.20.010188.001301 .
•   Pasterz, Theodore G (1990). „Symetrie, prawa zachowania i struktura hamiltonowska w geofizycznej dynamice płynów”. Postępy w geofizyce Tom 32 . Postępy w geofizyce . Tom. 32. s. 287–338. Bibcode : 1990AdGeo..32..287S . doi : 10.1016/S0065-2687(08)60429-X . ISBN 9780120188321 .
•   Swaters, Gordon E. (2000). Wprowadzenie do hamiltonowskiej dynamiki płynów i teorii stabilności . Boca Raton, Floryda: Chapman & Hall/CRC. P. 274. ISBN 1-58488-023-6 .
• Nevir, P.; Mikser, R. (1993). „Reprezentacja Nambu nieściśliwej hydrodynamiki z wykorzystaniem spiralności i enstrofii”. J. Fiz. A. _ 26 (22): 1189–1193. Bibcode : 1993JPhA...26L1189N . doi : 10.1088/0305-4470/26/22/010 .
•   Blender, R.; Badin, G. (2015). „Mechanika hydrodynamiczna Nambu wyprowadzona z ograniczeń geometrycznych”. J. Fiz. A. _ 48 (10): 105501. arXiv : 1510.04832 . Bibcode : 2015JPhA...48j5501B . doi : 10.1088/1751-8113/48/10/105501 . S2CID 119661148 .