Hipoteza Herzoga-Schönheima

W matematyce hipoteza Herzoga-Schönheima jest problemem kombinatorycznym w dziedzinie teorii grup , postawionym przez Marcela Herzoga i Jochanana Schönheima w 1974 roku.

Niech będzie $grupą$ i niech

${\ Displaystyle A = \ {a_ {1} G_ {1}, \ \ ldots, \ a_ {k} G_ {k} \}}$

być skończonym systemem lewych cosetów podgrup ${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}}$ sol sol $\ displaystyle G}$ .

${\ Displaystyle [G: G_ {1}], \ ldots, [G: G_ {k}]}$$k> 1}$ jeśli tworzy się $1$ z ${\ Displaystyle$ , to (skończone indeksy G nie mogą być odrębne. W przeciwieństwie do tego, jeśli dozwolone $infty}$$,$ to podzielenie grupy na zbiory jest łatwe: jeśli dowolną podgrupą z indeksem k $<$$k$${\ displaystyle H}$$\$ następnie podzielić na $cosets$ sol .

Podgrupy podnormalne

W 2004 roku Zhi-Wei Sun udowodnił rozszerzoną wersję hipotezy Herzoga-Schönheima w przypadku, gdy ${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}}$ są poniżej normy w ${\ styl wyświetlania G}$ . Podstawowy lemat w dowodzie Suna stwierdza, że ​​​​jeśli $są$ podnormalne i mają skończony indeks ${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}}$ to

${\ Displaystyle {\ bigg [} G: \ bigcap _ {i = 1} ^ {k} G_ {i} {\ bigg ]} \ {\ bigg |} \ \ prod _{i=1}^{k}[G:G_{i}]}$

i stąd

${\ Displaystyle P {\ bigg (} {\ bigg [} G: \ bigcap _ { i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i=1}^{k}P([G:G_{i}]),}$

gdzie oznacza zbiór pierwszych dzielników $P ($$)}$ n .

Twierdzenie Mirsky'ego-Newmana

Gdy $jest$ grupą addytywną liczb $.$ , cosets $są$ postępami W tym przypadku hipoteza Herzoga-Schönheima stwierdza, że ​​​​każdy system obejmujący , rodzina postępów arytmetycznych, które razem obejmują wszystkie liczby całkowite, musi albo obejmować niektóre liczby całkowite więcej niż raz, albo zawierać co najmniej jedną parę postępów, które mają taką samą różnicę jak każdy Inny. Wynik ten został przypuszczany w 1950 roku przez Paula Erdősa i udowodnione wkrótce potem przez Leona Mirsky'ego i Donalda J. Newmana . Jednak Mirsky i Newman nigdy nie opublikowali swojego dowodu. Ten sam dowód został również znaleziony niezależnie przez Harolda Davenporta i Richarda Rado .

W 1970 roku na sowieckiej olimpiadzie matematycznej podano problem kolorowania geometrycznego równoważny twierdzeniu Mirsky'ego-Newmana : załóżmy, że wierzchołki wielokąta foremnego są pokolorowane w taki sposób, że każda klasa kolorów sama tworzy wierzchołki wielokąta foremnego. Następnie istnieją dwie klasy kolorów, które tworzą przystające wielokąty.