Holomorf (matematyka)

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie algebry zwanej teorią grup , holomorfem grupy jest grupa, która jednocześnie zawiera (kopie) grupy i jej grupy automorfizmu . Holomorf dostarcza interesujących przykładów grup i pozwala traktować elementy grupowe i automorfizmy grupowe w jednolitym kontekście. W teorii grup dla grupy holomorf z oznaczał $displaystyle G$$}$${\ Displaystyle \ operatorname {Hol} (G)}$ można opisać jako iloczyn półbezpośredni lub jako grupę permutacji .

Hol( G ) jako produkt półbezpośredni

Jeśli $\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (G)}$${\ displaystyle G}$ jest grupą automorfizmów sol wtedy

${\ Displaystyle \ operatorname {Hol} (G) = G \ rtimes \ operatorname {Aut} (G)}$

gdzie mnożenie jest podane przez

${\ Displaystyle (g, \ alfa) (h, \ beta) = (g \ alfa (h), \ alfa \ beta).}$ [Równanie. 1]

Zazwyczaj iloczyn półbezpośredni jest podawany w postaci gdzie ${\ Displaystyle G \ rtimes _ {\ phi} A}$ gdzie ${\ displaystyle G}$ i ${\ displaystyle A}$ są grupami i ${\ Displaystyle \ phi: A \ rightarrow \ operatorname {Aut} (G)}$ jest homomorfizmem i gdzie mnożenie elementów w iloczynie półprostym jest podane jako

${\ Displaystyle (g, a) (h, b) = (g \ phi (a) (h), ab )}$

co jest dobrze zdefiniowane , ponieważ ${\ Displaystyle \ phi (a) \ in \ operatorname {Aut} (G)}$ i dlatego ${\ Displaystyle \ fi (a)(h)\in G}$ .

$phi$$}$ holomorfu i $jest$ tożsamości , taką pomijamy pisanie wyraźnie w mnożeniu podanym w [Równ. 1] powyżej.

Na przykład,

• ${\ Displaystyle G = C_ {3} = \ langle x \ rangle = \ {1, x, x ^ {2} \}}$ grupa cykliczna zamówienia 3
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Aut} (G) = \ langle \ sigma \ rangle = \ {1, \ sigma \}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ sigma (x) = x ^ {2}}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hol} (G) = \ {(x ^ {i}, \ sigma ^ {j}) \}}$ z podanym mnożeniem przez:

${\ Displaystyle (x ^ {i_ {1}}, \sigma ^{j_{1}})(x^{i_{2}},\sigma ^{j_{2}})=(x^{i_{1}+i_{2}2^{^{j_ {1}}}}, \ sigma ^ {j_ {1} + j_ {2}})}$ gdzie wykładniki ${\ displaystyle x}$ brane są mod 3 i mod 2. ${\ displaystyle \ sigma}$

Obserwuj np

${\ Displaystyle (x, \ sigma) (x ^ {2}, \ sigma) = (x^{1+2\cdot 2},\sigma ^{2})=(x^{2},1)}$

a ta grupa nie jest abelowa , ponieważ ${\ Displaystyle (x ^ {2}, \ sigma) (x, \ sigma) = (x, 1) }$ , więc ${\ Displaystyle \ operatorname {Hol} (C_ {3})}$ jest nieabelową grupą rzędu 6, która zgodnie z podstawową teorią grup musi być izomorficzna z grupą symetryczną ${\ displaystyle S_ {3}}$ .

Hol( G ) jako grupa permutacji

${\ Displaystyle \ rho _ {g}}$ Grupa G działa naturalnie na siebie przez mnożenie w lewo iw prawo, z których każde prowadzi do homomorfizmu od G do grupy symetrycznej na podstawowym zbiorze G . Jeden homomorfizm definiuje się jako λ : sol → Sym ( sol ), ${\ Displaystyle \ lambda _ {g}}$ ( godz ) = sol · godz . Oznacza to, że g jest odwzorowane na permutacja uzyskana przez pomnożenie w lewo każdego elementu G przez g . Podobnie, drugi homomorfizm ρ : sol → Sym ( sol ) jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle \ rho _ {g}}$ ( h ) = h · g ^-1 , gdzie odwrotność zapewnia, że ${\ displaystyle \ rho _ {gh}}$ ( k ) = ${\ Displaystyle \ rho _ {g}}$ ( ${\ Displaystyle \ rho _ {h}}$ ( k )). Te homomorfizmy nazywane są lewą i prawą reprezentacją regularną G . Każdy homomorfizm jest iniekcyjny , co jest określane mianem twierdzenia Cayleya .

Na przykład, jeśli G = C ₃ = {1, x , x ² } jest grupą cykliczną rzędu trzeciego, to

• ${\ Displaystyle \ lambda _ {x}}$ (1) = x · 1 = x ,
• ${\ Displaystyle \ lambda _ {x}}$ ( x ) = x · x = x ² i
• ${\ Displaystyle \ lambda _ {x}}$ ( x ² ) = x · x ² = 1,

więc λ ( x ) przyjmuje (1, x , x ² ) do ( x , x ² , 1).

Obraz λ jest podgrupą Sym( G ) izomorficzną z G , a jego normalizator w Sym( G ) jest zdefiniowany jako holomorf N z G . Dla każdego n w N i g w G istnieje h w G takie, że n · ${\ Displaystyle \ lambda _ {g}}$ = $lambda _ {h}}$ · n . Jeśli element n holomorfu ustala tożsamość G , to dla 1 w sol , ( n · ${\ Displaystyle \ lambda _ {g}}$ ) (1) = ( $\ Displaystyle \ lambda _ {h }}$ · n )(1), ale lewa strona to n ( g ), a prawa to h . Innymi słowy, jeśli n w N ustala tożsamość G , to dla każdego sol w sol , n · ${\ Displaystyle \ lambda _ {g}}$ = λ ( n ( sol )} · n . Jeśli g , h są elementami G , a n jest elementem N ustalającym tożsamość G , to dwukrotne zastosowanie tej równości do n · ${\ Displaystyle \ lambda _ {g}}$ · ${\ Displaystyle \ lambda _ {h}}$ i raz do (równoważnego) wyrażenia n · λ ( sol · h ) daje to n ( sol ) · n ( h ) = n ( g · h ). Oznacza to, że każdy element N , który ustala tożsamość G , jest w rzeczywistości automorfizmem G . Takie n normalizuje ${\ Displaystyle \ lambda _ {G}}$ , a jedynym $,$ jest λ sol (1). Ustawiając A jako stabilizator tożsamości $,$$podgrupa$ przez A i iloczynem półbezpośrednim z podgrupą normalną dopełnieniem . Ponieważ jest ${\ displaystyle \ lambda _ {G}}$ przechodnia , podgrupa generowana przez i stabilizator punktowy A to wszystko z $N$ co pokazuje, że holomorf jako grupa permutacji jest izomorficzny z holomorfem jako iloczynem półprostym

Przydatne, ale nie bezpośrednio istotne, jest to, że centralizatorem w Sym ( sol ) jest $\ displaystyle \ rho _ {G}} ρ sol {\$ ich jest ρ $G}}$ displaystyle \ rho _ { ( G )) = λ (Z ( G ) ), gdzie Z ( G ) jest środkiem G , a A jest wspólnym dopełnieniem obu tych normalnych podgrup N .

Nieruchomości

• ρ ( sol ) ∩ Aut ( sol ) = 1
• Aut( G ) normalizuje ρ ( G ) tak, że kanonicznie ρ ( G ) Aut( G ) ≅ G ⋊ Aut( G )
• $)$${\ Displaystyle \ operatorname {Inn} (G) \ cong \ operatorname {im} (g \ mapsto \ lambda (g) \ rho ($ λ ( sol ρ ( sol ) ( godz ) = ghg ^​​-1 ( $OperatorName {Zajazd} (G)}$ \ jest grupą automorfizmów wewnętrznych G .)
• K ≤ G jest podgrupą charakterystyczną wtedy i tylko wtedy, gdy λ ( K ) ⊴ Hol( G )

•   Hall, Marshall, Jr. (1959), Teoria grup , Macmillan, MR 0103215
• Burnside, William (2004), Teoria grup skończonego porządku, wyd. , Dover, s. 87