Homersham Cox (matematyk)

Homersham Cox
Homersham Cox
Urodzić się	15 lipca 1857; Wimbledonu , Surrey
Zmarł	27 maja 1918 w wieku 60) ( 27.05.1918 ) ; Allahabad

Homersham Cox (1857-1918) był angielskim matematykiem.

Życie

Był synem Homershama Coxa (1821–1897) i bratem Harolda Coxa . Uczył się w Tonbridge School (1870–75). W Trinity College w Cambridge ukończył licencjat jako czwarty awanturnik w 1880 r., a tytuł magistra w 1883 r. Został członkiem w 1881 r. Jego młodsza siostra Margaret opisała go jako człowieka często całkowicie pogrążonego w myślach. Był żonaty z Amy Cox. Później rozstali się i w 1907 roku zaczęła pracować jako guwernantka w Rosji.

Cox napisał cztery artykuły, w których stosował algebrę do fizyki, a następnie zajął się edukacją matematyczną , wydając w 1885 roku książkę o arytmetyce . Jego zasady arytmetyki obejmowały liczby binarne , liczby pierwsze i permutacje .

Zakontraktowany do nauczania matematyki w Muir Central College , Cox stał się mieszkańcem Allahabad , Uttar Pradesh od 1891 aż do śmierci w 1918. Był żonaty z Amy Cox, przez którą miał córkę, Ursulę Cox.

Pracuj nad geometrią nieeuklidesową

1881-1883 opublikował artykuły na temat geometrii nieeuklidesowej .

Na przykład w swoim artykule z 1881 r. (Opublikowanym w dwóch częściach w 1881 i 1882 r.) Opisał jednorodne współrzędne geometrii hiperbolicznej, zwane obecnie współrzędnymi Weierstrassa modelu hiperboloidy wprowadzonego przez Wilhelma Killinga (1879) i Henri Poincaré ( 1881 ) ) . Podobnie jak Poincaré w 1881 roku, Cox napisał ogólne transformacje Lorentza , pozostawiając niezmienniczą formę kwadratową. ${\ Displaystyle z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$ , a ponadto także dla ${\ Displaystyle w ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = 1}$ . Sformułował również wzmocnienie Lorentza , które opisał jako przeniesienie pochodzenia w płaszczyźnie hiperbolicznej na stronie 194:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X & = x \ cosh pz \ sinh p \\ Z & = - x \ sinh p + z \ cosh p \ koniec {wyrównane}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad { \begin{aligned}x&=X\cosh p+Z\sinh p\\z&=X\sinh p+Z\cosh p\end{aligned}}}

Podobnych wzorów użył Gustav von Escherich w 1874 r., o czym Cox wspomina na stronie 186. W swoim artykule z lat 1882/1883, który dotyczy geometrii nieeuklidesowej, kwaternionów i algebry zewnętrznej , podał następujący wzór opisujący przeniesienie punktu P do punktu Q w płaszczyźnie hiperbolicznej, na stronie 86

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} QP ^ {- 1} & = \ cosh \ theta + \ jota \sinh \theta \\QP^{-1}&=e^{\iota \theta }\end{wyrównane}}\quad (\iota ^{2}=1)}

razem z ${\ Displaystyle \ sałata \ teta + \ jota \ sin \ teta}$ z ${\ Displaystyle \ jota ^ {2} = -1}$ dla przestrzeni eliptycznej i ${\ Displaystyle 1- \ jota \ theta}$ z ${\ Displaystyle \ jota ^ {2} = 0}$ dla przestrzeni parabolicznej. Na stronie 88 zidentyfikował wszystkie te przypadki jako kwaternionów . Wariant $jako$ teraz nazywany liczbą hiperboliczną , po lewej stronie może być użyte wersor . Następnie artykuł ten został opisany przez Alfreda North Whiteheada (1898) w następujący sposób:

Homersham Cox konstruuje algebrę liniową [por. 22] analogiczne do Biquaternions Clifforda , które odnoszą się do geometrii hiperbolicznej o dwóch, trzech i wyższych wymiarach. Wskazuje również na przydatność wewnętrznego mnożenia Grassmanna do wyrażania wzorów odległości zarówno w przestrzeni eliptycznej, jak i hiperbolicznej; i stosuje ją do metrycznej teorii układów sił. Cały jego artykuł jest bardzo sugestywny.

łańcuch Coxa

W 1891 Cox opublikował łańcuch twierdzeń z geometrii euklidesowej o trzech wymiarach:

(i) W przestrzeni trójwymiarowej wybierzmy punkt 0, przez który przechodzą różne płaszczyzny a, b, c, d, e ,....

(ii) Każde dwie płaszczyzny przecinają się w linii przechodzącej przez 0. Na każdej takiej prostej wybierany jest losowo punkt. Punkt na linii przecięcia płaszczyzn a i b będziemy nazywać punktem ab .

(iii) Trzy płaszczyzny a, b, c dają trzy punkty bc, ac, ab . Określają one płaszczyznę. Będzie się nazywać płaszczyzna abc . Zatem płaszczyzny a, b, c, abc tworzą czworościan o wierzchołkach bc, ac, ab , 0.

(iv) Cztery płaszczyzny a, b, c, d dają cztery płaszczyzny abc, abd, acd, bcd . Można udowodnić, że spotykają się one w jednym punkcie. Nazwij to punktem abcd .

(v) Pięć płaszczyzn a, b, c, d, e daje pięć punktów takich jak abcd . Można udowodnić, że leżą one w płaszczyźnie. Nazwijmy to samolotem abcde .

(vi) Sześć płaszczyzn a, b, c, d, e, f daje sześć płaszczyzn takich jak abcde . Można udowodnić, że spotykają się one w jednym punkcie. Nazwijmy to punktem abcdef . I tak w nieskończoność.

Twierdzenie to zostało porównane do twierdzeń Clifforda o okręgu, ponieważ oba są nieskończonym łańcuchem twierdzeń. W 1941 Richmond argumentował, że łańcuch Coxa był lepszy:

Zainteresowanie Coxa polegało na odkryciu zastosowań Ausdehnungslehre Grassmanna i do tego celu wykorzystuje łańcuch. Każdy współczesny geometr (dla którego wiele własności Coxa dotyczących okręgów na płaszczyźnie musi wydawać się niemało sztucznych) zgodzi się, że jego figura punktów i płaszczyzn w przestrzeni jest prostsza i bardziej podstawowa niż figura okręgów na płaszczyźnie, którą wyprowadza z tego. Jednak ta figura 2 ⁿ kół pokazuje ponad wszelką wątpliwość wyższość łańcucha Coxa nad łańcuchem Clifforda; ponieważ ten ostatni jest uwzględniony jako szczególny przypadek, gdy połowa okręgów w pierwszym kurczy się w punkty. Płaska figura Coxa 2 ⁿ okręgi można wyprowadzić metodami elementarnymi.

HSM Coxeter wyprowadził twierdzenie Clifforda, zamieniając dowolny punkt na prostej ab z dowolną sferą około 0, która następnie przecina ab . Płaszczyzny a, b, c , ... przecinają tę sferę po okręgach, które można rzutować stereograficznie na płaszczyznę. Planarny język Coxa przekłada się następnie na kręgi Clifforda.

W 1965 roku pierwsze trzy twierdzenia Coxa zostały udowodnione w podręczniku Coxetera Wprowadzenie do geometrii .

Pracuje

^ Cox, H. (1885). Zasady arytmetyki . Deighton.
^ ^a ^b Cox, H. (1881). „Jednorodne współrzędne w geometrii urojonej i ich zastosowanie do układów sił” . Kwartalnik matematyki czystej i stosowanej . 18 (70): 178–192.
^ ^a ^b Cox, H. (1882) [1881]. „Jednorodne współrzędne w urojonej geometrii i ich zastosowanie do układów sił (ciąg dalszy)” . Kwartalnik matematyki czystej i stosowanej . 18 (71): 193–215.
^ ^ab ^Cox , H. (1883) [1882]. „O zastosowaniu kwaternionów i Ausdehnungslehre Grassmanna do różnych rodzajów przestrzeni jednolitej” . Transakcje Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 13 : 69 –143.
^ ^ab ^Cox , H. (1883) [1882]. „O zastosowaniu kwaternionów i Ausdehnungslehre Grassmanna do różnych rodzajów przestrzeni jednolitej” . Materiały Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 4 : 194 –196.
^ Cox H. (1891). „Zastosowanie Ausdehnungslehre Grassmanna do właściwości kół” . Kwartalnik matematyki czystej i stosowanej . 25 : 1–70.

Bibliografia

Davies, Richard; Liddle, Peter (1990). Pokój i wojna: Brytyjczycy w Rosji w XIX i na początku XX wieku: katalog wystawy . Biblioteka Brotherton, Uniwersytet w Leeds .
Olivier, Sydney Haldane (1948). Olivier, Małgorzata (red.). Sydney Olivier: listy i wybrane pisma . Przedmowa Bernarda Shawa . Allena i Unwina . (Pełny tekst dostępny tutaj )
Starr, Martin P. (2003). Nieznany Bóg: WT Smith i Thelemici . Teitan Press, Inc. ISBN 978-0-933429-07-9 .

[7] Cox, H. (1885). Zasady arytmetyki . Deighton.

[cox1-8] Cox, H. (1881). „Jednorodne współrzędne w geometrii urojonej i ich zastosowanie do układów sił” . Kwartalnik matematyki czystej i stosowanej . 18 (70): 178–192.

[cox2-9] Cox, H. (1882) [1881]. „Jednorodne współrzędne w urojonej geometrii i ich zastosowanie do układów sił (ciąg dalszy)” . Kwartalnik matematyki czystej i stosowanej . 18 (71): 193–215.

[cox3-10] Cox , H. (1883) [1882]. „O zastosowaniu kwaternionów i Ausdehnungslehre Grassmanna do różnych rodzajów przestrzeni jednolitej” . Transakcje Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 13 : 69 –143.

[cox4-11] Cox , H. (1883) [1882]. „O zastosowaniu kwaternionów i Ausdehnungslehre Grassmanna do różnych rodzajów przestrzeni jednolitej” . Materiały Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 4 : 194 –196.

[13] Cox H. (1891). „Zastosowanie Ausdehnungslehre Grassmanna do właściwości kół” . Kwartalnik matematyki czystej i stosowanej . 25 : 1–70.

Homersham Cox
Urodzić się	15 lipca 1857 Wimbledonu , Surrey
Zmarł	27 maja 1918 ( w wieku 60) ( 27.05.1918 ) Allahabad