Hydraulika (matematyka)

W matematycznej dziedzinie topologii geometrycznej , wśród technik znanych jako teoria chirurgii , proces układania rur jest sposobem na tworzenie nowych rozmaitości z wiązek dyskowych . Po raz pierwszy została opisana przez Johna Milnora , a następnie szeroko stosowana w teorii chirurgii do tworzenia rozmaitości i map normalnych z określonymi przeszkodami chirurgicznymi .

Definicja

Niech ${\ Displaystyle \ xi _ {i} = (E_ {i}, M_ {i}, p_ {i})}$ będzie wiązką wektorów rangi n nad n -wymiarowa gładka rozmaitość dla i = 1,2. ${\ displaystyle M_ {i}}$ Oznacz przez całkowitą przestrzeń powiązanego (zamkniętego) pakietu dyskowego ${\ displaystyle D (E_ {i})$$\ xi _ {i})}$$ja )$$D (E_{i})}$ załóżmy, że i są zorientowane w kompatybilny sposób. $displaystyle x_ {i} \$ wybierzemy dwa punkty , ja $w M. x ja$ 1,2 i rozważymy sąsiedztwo kuli w ${$$i} ^ {n} \ razy D_ {i} ^ {n}}$$n$ displaystyle światłowodu na $\ Displaystyle x_ {i}}$ w ${\ displaystyle D (E_ {i})}$ . Niech ${\ displaystyle h: D_ {1} ^ {n} \rightarrow D_ {2} ^ {n}}$ i $będą dwa$ (zarówno zachowujący orientację, Re ${\ displaystyle D (E_ {1})}$ re ( $\ displaystyle D (E_ {2})}$ x 1 $displaystyle x_ {1}}$ i ${\ displaystyle x_ {2}}$ definiuje się jako przestrzeń ilorazową ${\ Displaystyle P = D (E_ {1}) \ Puchar _ {f} D (E_ {2})}$ gdzie ${\ Displaystyle f: D_ {1} ^ {n} \ razy D_ {1} ^ {n} \rightarrow D_ {2} ^ {n} \ razy D_ {2} ^ {n }}$ jest zdefiniowane przez ${\ Displaystyle f (x, y) = (k (y), h (x))}$ . Gładką strukturę ilorazu definiuje się poprzez „wyprostowanie kątów”.

Hydraulika według drzewa

rozmaitość podstawowa jest kulą , to iterując tę ​​procedurę po kilku wiązkach wektorowych, $displaystyle S ^ {$ je połączyć zgodnie z $}}$ drzewo ^§8 . Jeśli $drzewem$ , do każdego wierzchołka przypisujemy wiązkę wektorów $displaystyle$ S $S ^ {n}}$ i łączymy ze sobą odpowiednie wiązki dysków, jeśli dwa wierzchołki są połączone krawędzią. Należy uważać, aby sąsiedztwa w przestrzeniach całkowitych nie pokrywały się.

Rozmaitości Milnora

Niech oznacza wiązkę dyskową powiązaną z wiązką styczną sfery $}})}$ 2k . Jeśli zanalizujemy osiem kopii schematem $}$ ze $(\ tau _ {S ^ {2k}}$ S 2 } rozmaitość wymiarowa, którą niektórzy autorzy nazywają rozmaitością Milnora ${\ displaystyle M_ {B} ^ {4k}}$ (patrz także rozmaitość E ₈ ).

Dla ${\ displaystyle k> 1}$ granica jest równa ${\ displaystyle \ Sigma ^ {4k-1} = \ częściowe M_ {B} ^ {4k}}$$,$ homotopii generuje grupę h się sfer rozmaitości π ( więcej szczegółów można znaleźć w artykule sfery egzotyczne ). Jego podpis to ${\ displaystyle sgn (M_ {B} ^ {4k}) = 8}$ i istnieje ^V.2.9 normalna mapa ${\ displaystyle (f ,b)}$ tak, że przeszkoda chirurgiczna wynosi , gdzie $sol$$Displaystyle g: (M_ {B }^{4k},\partial M_{B}^{4k})\rightarrow (D^{4k},S^{4k-1})} jest mapą stopnia 1$ i $jest$ mapą wiązek ze stabilnej wiązki normalnej rozmaitości Milnora do pewnej stabilnej wiązki wektorowej .

Twierdzenie o hydraulice

Twierdzeniem kluczowym dla rozwoju teorii chirurgii jest tzw. Twierdzenie o hydraulice ^II.1.3 (przedstawione tutaj w prostym przypadku):

Dla wszystkich istnieje 2k -wymiarowa rozmaitość z granicą $\ in \$$mathbb {Z}}$$\ displaystyle$ i normalna mapa ${\ displaystyle (g, c)$ sol ${\ Displaystyle g: (M, \ częściowe M) \ Rightarrow (D ^ {2k}, S ^ {2k-1})}$ jest takie, że $jest$$jest$ równoważnością homotopii, wiązki w wiązkę trywialną, a przeszkoda chirurgiczna wynosi $displaystyle \ sigma (g,c)=l}$ .

Dowód tego twierdzenia wykorzystuje zdefiniowane powyżej rozmaitości Milnora.

•   Browder, William (1972), Chirurgia na prosto połączonych rozgałęźnikach , Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-50022-0
• Milnor, John (1956), O prosto podłączonych 4-rozmaitościach , Symposium Internal de Topología Algebráica, Meksyk
•   Hirzebruch, Fryderyk ; Bergera, Thomasa; Jung, Rainer (1994), Rozmaitości i formy modułowe , Springer-Verlag, ISBN 978-3-528-16414-0
•   Madsen, Ib ; Milgram, R. James (1979), Klasyfikacja przestrzeni dla chirurgii i kobordyzmu rozmaitości , Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8147-5
•   López de Medrano, Santiago (1971), Inwolucje na rozmaitościach , Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-65014-7