Iloraz splotu

W matematyce iloraz splotu ma się do działania splotu tak, jak iloraz liczb całkowitych do mnożenia . Ilorazy splotów wprowadził Mikusiński ( 1949 ), a ich teorię nazywa się niekiedy rachunkiem operacyjnym Mikusińskiego .

Rodzaj splotu ${\ textstyle (f, g) \ mapsto f * g}$ , którego dotyczy ta teoria, jest określony przez

${\ Displaystyle (f * g) (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (u) g (xu) \ du.}$

twierdzenia Titchmarsha o splotach wynika $} jest równe 0 wszędzie w$ że ​​jeśli splot dwóch funkcji ${\ textstyle f$$g}$ , które są ciągłe na ${\ textstyle [0,$$,$ przedziale, to co najmniej jeden z jest równy 0 wszędzie w tym przedziale. Konsekwencją jest to, że jeśli ${\textstyle h*f=h*g}$ ciągłe na $\ textstyle [$${\textstyle [0,+\infty )}$ then only if ${\textstyle f=g.}$ This fact makes it possible to define convolution quotients by saying that for two functions ƒ, g, the pair (ƒ, g) has the same convolution quotient as the pair (h * ƒ,h * g).

Ilorazy splotu są używane w podejściu do uczynienia funkcji delta Diraca i innych funkcji uogólnionych logicznie rygorystycznymi .

•   Mikusiński, Jan G. (1949), "Sur les fondements du calcul opératoire", Studia Math. , 11 : 41–70, MR 0036949
•   Mikusiński, Jan (1959) [1953], Rachunek operacyjny , International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics, tom. 8, Nowy Jork-Londyn-Paryż-Los Angeles: Pergamon Press, MR 0105594