Twierdzenie Titchmarsha o splotach

Twierdzenie Titchmarsha o splocie opisuje właściwości podparcia splotu dwóch funkcji . Udowodnił to Edward Charles Titchmarsh w 1926 roku.

Twierdzenie Titchmarsha o splotach

Jeśli ${\ textstyle \ varphi (t) \,}$ i ${\ textstyle \ psi (t)}$ są funkcjami całkowalnymi, takimi że

${\ Displaystyle \ varphi * \ psi = \ int _ {0} ^ {x} \ varphi (t) \ psi (xt) \, dt=0}$

prawie wszędzie $Displaystyle$ przedziale , wtedy istnieją $geq 0}$${\ Displaystyle \ lambda + \ mu \ geq \ kappa}$ \ lambda $geq 0}$ μ takie, że ${\ Displaystyle \ varphi (t) = 0 \,}$ prawie wszędzie w ${\ Displaystyle 0 <t <\ lambda}$ i ${\ Displaystyle \ psi (t) = 0 \,}$ prawie wszędzie w ${\ Displaystyle 0 <t <\ mu.}$

W związku z tym, jeśli powyższa całka wynosi 0 dla wszystkich $x$$x> 0,},$$to$ albo jest prawie wszędzie 0 w przedziale ${\textstyle [0,+\infty).}$ Zatem splot dwóch funkcji na ${\textstyle [0,+\infty )}$ nie może być identycznie zerowy, chyba że co najmniej jedna z dwóch funkcji jest identycznie zerowa .

Jako kolejny wniosek, jeśli $x\in [0,\kappa ]$ jeden z $\ Displaystyle \ varphi * \ psi (x)$$\varphi$ or $\psi$ is almost everywhere not null in this interval, then the other function must be null almost everywhere in $[0,\kappa ]$.

Twierdzenie można przekształcić w następującą postać:

Niech ${\ Displaystyle \ varphi, \ psi \ w L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ inf \ nazwa operatora {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ inf \ nazwa operatora {supp} \ varphi + \ inf \ nazwa operatora {supp } \psi }$ jeśli lewa strona jest skończona. Podobnie $_$ _ prawa strona jest skończona.

Powyżej ${\ displaystyle \ operatorname {supp}}$ oznacza obsługę funkcji, a ${\ displaystyle \ inf}$ i ${\ displaystyle \ sup}$ oznaczają infimum i supremum . To twierdzenie zasadniczo stwierdza, że ​​​​dobrze znana inkluzja ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {supp} \ varphi \ ast \ psi \ podzbiór \ nazwa operatora {supp} \ varphi + \ nazwa operatora { supp} \psi }$ jest ostry na granicy.

Uogólnienie o wyższych wymiarach w odniesieniu do wypukłej otoczki podpór zostało udowodnione przez Jacquesa-Louisa Lionsa w 1951 roku:

Jeśli ${\ Displaystyle \ varphi \ psi \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {n})} ,$ to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ch} \ nazwa operatora {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ nazwa operatora {ch} \ nazwa operatora {supp} \ varphi + \ nazwa operatora {ch} \ nazwa operatora {supp} \ psi}$

Powyżej, $mi$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {n$ } } oznacza przestrzeń dystrybucje z kompaktowym wsparciem .

Oryginalny dowód Titchmarsha wykorzystuje techniki zmiennych zespolonych i jest oparty na zasadzie Phragména-Lindelöfa , nierówności Jensena , twierdzeniu Carlemana i twierdzeniu Valirona . Od tego czasu twierdzenie zostało udowodnione jeszcze kilka razy, zwykle przy użyciu ze zmienną rzeczywistą lub ze zmienną zespoloną. Gian-Carlo Rota stwierdził, że żaden dowód nie odnosi się jeszcze do podstawowej struktury kombinatorycznej twierdzenia, która jego zdaniem jest niezbędna do pełnego zrozumienia.