Jeż (geometria)

Astroida , zbudowana jako obwiednia linii. Odpowiednia funkcja wsparcia mieści się w zakresie od minimum 0 dla punktów na osi poziomej i pionowej do maksimum w czterech przekątnych punktach na okręgu jednostkowym.

Hipocykloida , która tworzy samoprzekraczający się jeż

W geometrii różniczkowej jeż lub płaski jeż jest rodzajem płaskiej krzywej , obwiednią rodziny linii określonych przez funkcję wsparcia . Bardziej intuicyjnie, wystarczająco grzeczne jeże to płaskie krzywe z jedną linią styczną w każdym zorientowanym kierunku. Jeż projekcyjny jest ograniczonym typem jeża, zdefiniowanym na podstawie antysymetrycznej funkcji wsparcia i (ponownie, gdy jest wystarczająco grzeczny) tworzy krzywą z jedną linią styczną w każdym kierunku, niezależnie od orientacji.

Każda zamknięta ściśle wypukła krzywa , obwiednia jej linii nośnych . Astroida tworzy niewypukłego jeża, a krzywa naramienna tworzy rzutowego jeża.

Jeże można również zdefiniować na podstawie funkcji podporowych hiperpłaszczyzn w wyższych wymiarach.

Definicje

Formalnie płaską funkcję podporową można zdefiniować jako ${\ Displaystyle f (\ theta) = h {\ bigl (} (\ cos \ theta, \ sin \ theta) {\ bigr)}}$ różniczkowalną w sposób ciągły od okręgu $jednostkowego$ na płaszczyźnie do liczb rzeczywistych lub równoważnie jako funkcję od kątów do liczb rzeczywistych. dla każdego punktu ${\ displaystyle q}$ na okręgu jednostkowym definiuje linię, zbiór punktów, dla których $)$ $\ Displaystyle p \ cdot q = h (q)$ . Ta $jest$ prostopadła do wektora $się$ przez punkt i ${\ Displaystyle | h (q) |}$ od początku . $wszystkich$ antysymetryczna, względem $}$ q kąty ${\ Displaystyle f (\ teta) = - f (\ teta + \ pi)}$ q {\ Displaystyle q} i $q$ { $-q}$ zdefiniować tę samą linię jako siebie.

Biorąc pod uwagę jakąkolwiek funkcję wsparcia $Displaystyle$ jej jeż jest oznaczony ${\ mathcal {H}} _ {h}}$ . Pod względem funkcji $ma$ kąta równania parametryczne ${\ displaystyle \ theta}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = f (\ theta )\cos \theta -f'(\theta )\sin \theta \\y&=f(\theta )\sin \theta +f'(\theta )\cos \theta \end{wyrównane}}}

Jeż nie jest osobliwy , gdy ma linię styczną w każdym ze swoich punktów. Rzutowy jeż jest zdefiniowany przez antysymetryczną funkcję wsparcia. Jeże można również zdefiniować w ten sam sposób w wyższych wymiarach, jako obwiednie hiperpłaszczyzn określonych funkcjami podporowymi.

Przykłady

Funkcja wsparcia opisująca linie nośne dla zbioru wypukłego $jest$ zdefiniowana przez $\ Displaystyle h (q) = \ max \ {p \ cdot q\mid p\w K\}}$ . Jeżem funkcji podporowej dowolnego zbioru ściśle wypukłego jest jego granica, sparametryzowana przez kąt jego linii podporowych. Gdy zbiór wypukły nie jest ściśle wypukły (ma odcinek linii w jego granicy), jego funkcja podporowa jest ciągła, ale nie różniczkowalna w sposób ciągły, a powyższe równania parametryczne przeskakują w sposób nieciągły przez odcinek zamiast definiować ciągłą krzywą, więc nie jest definiowana jako jeż. Astroid stanowi przykład niewypukłego jeża.

Naramienny , przykład rzutowego jeża, przedstawiający segmenty linii obracające się w rodzinie linii, których obwiednią jest mięsień naramienny

Przykładem rzutowego jeża, zdefiniowanego na podstawie antysymetrycznej funkcji wsparcia, jest dana krzywa naramienna . Mięsień naramienny jest prostą zamkniętą krzywą, ale inne jeże mogą się przecinać lub w inny sposób źle się zachowywać. W szczególności istnieją antysymetryczne funkcje wsparcia oparte na funkcji Weierstrassa , której odpowiednimi rzutowymi jeżami są krzywe fraktalne , które są ciągłe, ale nigdzie nie różniczkowalne i mają nieskończoną długość.

Trójkąt Reuleaux i jego środkowy jeż, umiejscowienie punktów środkowych jego segmentów średnicy. Chociaż ten jeż przypomina mięsień naramienny, to nim nie jest; zamiast tego jest utworzony z trzech okrągłych łuków o połowie promienia zewnętrznych łuków trójkąta Reuleaux.

Każde ściśle wypukłe ciało na płaszczyźnie definiuje rzutowego jeża, jego środkowego jeża , obwiednię linii w połowie odległości między każdą parą równoległych linii nośnych. Chociaż trójkąty nie są ściśle wypukłe, obwiednią zdefiniowaną w ten sposób dla trójkąta jest jego środkowy trójkąt . Punkty środkowego jeża to punkty środkowe odcinków linii łączących pary punktów, w których każda para równoległych linii podtrzymujących styka się z ciałem. Ma skończoną długość, równą połowie obwodu danego ciała. Każdy skrajny punkt wypukłej łuski jeża środkowego jest punktem wypukłości , punkt taki, że połączenie ciała z jego odbiciem przez ten punkt jest wypukłe. Zawsze są co najmniej trzy takie punkty, a trójkąty i trójkąt Reuleaux dostarczają przykładów, gdzie są dokładnie trzy.

Nieruchomości

Niepojedynczy jeż ma unikalną linię styczną w każdym zorientowanym kierunku, należącą do definiującej go rodziny linii. Odpowiednio, każdy dostatecznie dobrze wychowany jeż rzutowy ma unikalną linię styczną w każdym kierunku, bez względu na orientację.

Pary jeży można łączyć przez punktową sumę ich funkcji podporowych. Ta operacja rozszerza dodawanie Minkowskiego ciał wypukłych i jest analogiczna do dodawania Minkowskiego na wiele sposobów. Można go użyć do scharakteryzowania krzywych o stałej szerokości : wypukły jeż ma stałą szerokość $wtedy$ tylko wtedy, gdy jego funkcja wsparcia jest utworzona przez dodanie ${\ displaystyle w/2}$ do funkcji podporowej jeża projekcyjnego. Oznacza to, że krzywe o stałej szerokości są dokładnie wypukłymi jeżami utworzonymi jako sumy rzutowych jeży i okręgów.

Każdy rzutowy jeż ma co najmniej trzy osobliwości (zwykle guzki ). Gdy rzutowy jeż ma skończoną długość, konstrukcja Leonharda Eulera pokazuje, że jego ewolwenty o odpowiednio dużym promieniu są krzywymi o stałej szerokości.

Uogólnienie

Mówiąc bardziej ogólnie, jeże to naturalne obiekty geometryczne, które reprezentują formalne różnice między ciałami wypukłymi: mając (K, L) uporządkowaną parę ciał wypukłych w euklidesowej przestrzeni wektorowej ℝ n + 1 , istnieje jeden i tylko jeden jeż ^, który reprezentuje różnicę formalną K – L w ℝ ⁿ⁺¹ .

Przypadek wielokąta na płaszczyźnie:

Przypadek ciał gładkich wypukłych o dodatniej krzywiźnie Gaussa:

Odejmowanie dwóch wypukłych hiperpowierzchni (z dodatnią krzywizną Gaussa) przez odjęcie punktów odpowiadających tej samej normalnej jednostce zewnętrznej w celu uzyskania (prawdopodobnie pojedynczej i samoprzecinającej się) hiperpowierzchni:

Pomysł wykorzystania różnic ciał wypukłych Minkowskiego wywodzi się z kilku artykułów AD Alexandrova i H. Gepperta z lat trzydziestych XX wieku. Wiele klasycznych pojęć dotyczących ciał wypukłych rozciąga się na jeże, a spora liczba klasycznych wyników znajduje swoje odpowiedniki. Oczywiście konieczne są pewne adaptacje. W szczególności tomy należy zastąpić ich wersjami algebraicznymi.

W długiej serii artykułów Y. Martinez-Maure badał jeże i ich przedłużenia pod różnymi względami. Najbardziej uderzającym rezultatem tej teorii jeża było skonstruowanie kontrprzykładów dla starej domniemanej charakterystyki 2-sfery.