Kąty między mieszkaniami

Pojęcie kątów między prostymi w płaszczyźnie oraz między parami dwóch prostych, dwóch płaszczyzn lub prostej i płaszczyzny w przestrzeni można uogólnić na dowolny wymiar . To uogólnienie zostało po raz pierwszy omówione przez Jordana . Dla dowolnej pary mieszkań w przestrzeni euklidesowej o dowolnym wymiarze można zdefiniować zbiór wzajemnych kątów, które są niezmienne przy transformacji izometrycznej przestrzeni euklidesowej. Jeśli mieszkania się nie przecinają, ich najkrótsza odległość to jeszcze jeden niezmiennik. Kąty te nazywane są kanonicznymi lub głównymi . Pojęcie kątów można uogólnić na pary mieszkań w skończonej wymiarowej przestrzeni iloczynu wewnętrznego nad liczbami zespolonymi .

Definicja Jordana

Niech i ${\ displaystyle$$}$ będą mieszkaniami o wymiarach $displaystyle$ l { $displaystyle E ^ {n.}}$$l}$$w$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Z definicji $ich$ lub nie $zmienia$ wzajemnych kątów Jeśli i nie przecinają $styl wyświetlania F}$ , zrobią to po każdym tłumaczeniu, $displaystyle$$\$$jakiś$ punkt w $pewnym$ w $G}$ . Można zatem założyć bez utraty ogólności $,$$się$ przecinają .

Jordan pokazuje, że współrzędne kartezjańskie ${\ Displaystyle x_ {1}, \ kropki, x_ {\ rho},}$${\ Displaystyle y_ {1}, \ kropki, y _ {\ sigma},}$${\ Displaystyle Z_ {1}, \ kropki, z _ {\ tau},}$${\ Displaystyle u_ {1}, \ kropki, u _ {\ upsilon},}$${\ Displaystyle v_ {1}, \ kropki, v_ {\ alfa},}$$}$${\ Displaystyle w_ {1}, \ kropki, w _ {\ alfa$$}$ in można następnie zdefiniować tak, że i opisane odpowiednio przez zestawy równań ${\ displaystyle F}$ sol $\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle x_ {1} = 0, \ kropki, x _ {\ rho} = 0,}$

${\ Displaystyle u_ {1} = 0 \ kropki, u _ {\ upsilon} = 0,}$

${\ Displaystyle v_ {1} = 0, \ kropki, v_ {\ alfa} = 0}$

I

${\ Displaystyle x_ {1} = 0, \ kropki, x_ {\ rho} = 0,}$

${\ Displaystyle Z_ {1} = 0, \ kropki, z_ {\ tau} = 0,}$

${\ Displaystyle v_ { 1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\ grzech \theta _{\alpha}=0}$

z ${\ Displaystyle 0 <\ theta _ {i}<\ pi / 2, i = 1, \ kropki, \ alfa}$ . Jordan nazywa te współrzędne kanonicznymi . $Z$ kąty to kąty między $_$ _ $_$ _

Nieujemne liczby całkowite są ograniczone przez ${\ Displaystyle \ rho, \ sigma, \ tau, \ upsilon, \ alfa}$

${\ Displaystyle \ rho + \ sigma + \ tau + \ upsilon + 2 \ alfa = n,}$

${\ Displaystyle \ sigma + \ tau +\alfa = k,}$

${\ Displaystyle \ sigma + \ upsilon + \ alfa = \ ell.}$

Aby te równania całkowicie określiły pięć nieujemnych liczb całkowitych, oprócz wymiarów i liczby kątów $displaystyle \ theta _ {i}} ,$$, k}$$Displaystyle$$oraz$ i ${\ Displaystyle \ ell}$ liczby kątów należy podać nieujemną liczbę całkowitą ${\ displaystyle \ sigma} .$ Jest $których$ liczba współrzędnych $obu$$odpowiadające$ osie leżą całkowicie wewnątrz . $sol {$ całkowita jest zatem wymiarem $displaystyle F \ cap G}$ \ Zbiór kątów $,$ uzupełnić o ${\$$Displaystyle 0}$$\ Displaystyle \ theta _ {i}$ wskazać, że ma ten wymiar } .

Dowód Jordana stosuje się zasadniczo niezmieniony, gdy $^ {n$ zastąpiony przez -wymiarową wewnętrzną przestrzeń iloczynu nad złożonym $E$${\ displaystyle$ liczby. (W przypadku kątów między podprzestrzeniami uogólnienie na $jest$ omawiane przez Galántai i Hegedũs w odniesieniu do poniższej ) .

Kąty między podprzestrzeniami

$-wymiarowej$ teraz i będą podprzestrzeniami przestrzeni iloczynu wewnętrznego nad liczbami $.$$zespolonymi$ Z geometrycznego $widzenia$ i są $mieszkaniami$ , więc obowiązuje definicja Jordana dotycząca wzajemnych kątów Gdy dla dowolnej $współrzędnej$$kanonicznej$ symbol $oznacza$ jednostkowy ${\ Displaystyle {\ kapelusz {y}} _ {1}, \ kropki, {\ kapelusz {y}} _ {\ sigma},}$ wektory ${\ Displaystyle {\ kapelusz {w}} _ {1}, \ kropki, {\ kapelusz {w}} _ {\ alfa},}$$, \ kropki, {\ kapelusz {z}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {z}} _ { 1$ } tworzą podstawę ortonormalną dla $wektorów$${\ Displaystyle {\ hat { y}} _ {1}, \ kropki, {\ kapelusz {y}} _ {\ sigma},}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {w}} '_ { 1}, \ kropki, {\ kapelusz {w}} '_ {\ alfa},}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {u}} _ {1}, \ kropki, {\ kapelusz {u}} _ {\ upsilon}}$ tworzą ortonormalną podstawę dla ${\ displaystyle G}$ , gdzie sol {\ displaystyle G}

${\ Displaystyle {\ kapelusz {w}} '_ {i} = {\ kapelusz {w}} _ {i} \ cos \ teta _ {i} + {\ kapelusz {v}} _ {i} \ grzech \ theta _{i},\quad i=1,\kropki ,\alfa .}$

Te podstawowe wektory, związane ze współrzędnymi kanonicznymi, można nazwać kanonicznymi .

Kiedy za $1, \ kropki, k}$${\ Displaystyle b_ {i}, i = 1, \ kropki, l}$ oznaczają kanoniczne wektory podstawowe dla $ja$ b kanoniczne podstawowe wektory dla ${\ Displaystyle G},$ a następnie iloczyn wewnętrzny $\ rangle}$${\ Displaystyle \ langle a_ {i}, b_ {j$$\ displaystyle j}$ znika dla dowolnej pary $j$ { z wyjątkiem poniższych.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ langle {\ kapelusz {y}} _ {i}, {\ kapelusz {y}} _ {i} \ rangle = 1, & & i = 1, \ kropki, \ sigma, \\&\langle {\kapelusz {w}}_{i},{\kapelusz {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\kropki ,\alfa .\end{wyrównane}}}$

Przy $_$ podstawowych macierz iloczynów wewnętrznych _ Innymi $_$ jeśli ${\ Displaystyle (b'_ {i}, i = 1, \ kropki, \ ell)}$ są dowolnymi bazami ortonormalnymi w ${$$\ Displaystyle G},$ następnie rzeczywiste , ortogonalne lub jednolite przekształcenia od podstawy do podstawy ${\ Displaystyle$${i})}$ ( $\ Displaystyle (b'_ {i})}$ do podstawy ${\ Displaystyle (b_ {i})}$ realizować rozkład na wartości osobliwe macierzy iloczynów wewnętrznych ${\ Displaystyle \ kąt a'_{i},b'_{j}\rangle }$ . Przekątne elementy $macierzy$ Dzięki wyjątkowości rozkładu na wartości osobliwe wektory $unikalne aż do rzeczywistej, ortogonalnej lub jednostkowej$ , a wektory ${\ Displaystyle {\ kapelusz {w}} _ {i}}$ i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {w}} '_ {i}}$ (a więc ${\ Displaystyle {\ kapelusz {v} }} _ {i}}$ ) są unikalne aż do równych rzeczywistych, ortogonalnych lub jednostkowych przekształceń zastosowanych jednocześnie do zbiorów wektorów związanych ze wspólną wartością ${\ Displaystyle {\ hat {w}} _ {i}}$ θ ${\ Displaystyle \ theta _ {i}}$ i do odpowiednich zestawów wektorów (a więc do odpowiednich zestawów wektorów $}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}} _ {i}}$ ).

Wartość pojedynczą $a$ zinterpretować jako odpowiadającą kątom $sol {\$ powyżej i powiązanym z i $}$$Displaystyle F \ cap$ wartość pojedyncza ${\ Displaystyle 0}$ może być interpretowana jako ${\ Displaystyle \ cos \ pi / 2}$ odpowiadająca kątom prostym między ortogonalnymi przestrzeniami ${\ Displaystyle F \ czapka G ^ {\ bot} }$ i gdzie $Displaystyle F ^ {\ bot} \ cap G$ oznacza dopełnienie ortogonalne fa $\$ { }

Charakterystyka wariacyjna

Charakterystyka wariacyjna wartości osobliwych i wektorów implikuje w szczególnym przypadku wariacyjną charakterystykę kątów między podprzestrzeniami i związanymi z nimi wektorami kanonicznymi. Ta $obejmuje$ kąty i powyżej i porządkuje kąty według rosnącej wartości $.$ Można nadać mu postać poniższej alternatywnej definicji. W tym kontekście zwyczajowo mówi się o głównych kątach i wektorach.

Definicja

Niech $będzie$ przestrzenią produktu. Biorąc $\ mathcal {W}}): = \ ell} , istnieje$$uwagę$ dwie podprzestrzenie z $({\ mathcal {U}}) = k \ równoważnik \ dim ($ { ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ theta _ {1} \ równoważnik \ teta _ {2} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik \ teta _ {k} \ równoważnik \ pi / 2} nazywany głównymi kątami$ sekwencja $θ$ , pierwszy określony jako

${\ Displaystyle \ teta _ {1}: = \ min \ lewo \ {\ arccos \ lewo (\ lewo. {\ Frac {| \ langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W} }\right\}=\kąt (u_{1},w_{1}),}$

gdzie $cdot$ iloczynem wewnętrznym i $\|}$ { normą . Wektory $są$$_$ wektorami _ _

Pozostałe kąty główne i wektory są następnie definiowane rekurencyjnie przez

${\ Displaystyle \ theta _ {i}: = \ min \ lewo \ {\ lewo. \ arccos \ lewo ({\ Frac {|\ langle u, w \ rangle |} {\| u \|\| w \ | }}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{ j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

$że$ główne kąty między dwiema podprzestrzeniami wektory główne w każdej podprzestrzeni są do siebie ortogonalne.

Przykłady

Przykład geometryczny

podprzestrzenie to mieszkania (punkty, linie, płaszczyzny itp.), Które obejmują początek, więc dowolne dwie podprzestrzenie przecinają się przynajmniej w początku. $Dwie$ dwuwymiarowe podprzestrzenie $zbiór$ generują dwóch kątów W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej podprzestrzenie i $są albo identyczne, albo$$przecięcie$ linię. W pierwszym przypadku zarówno ${\ Displaystyle \ theta _ {1} = \ theta _ {2} = 0}$ . ${1}$ tym drugim przypadku tylko , gdzie wektory i na linii $=$$_$${\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}$ and have the same direction. The angle $\theta _{2}>0$ will be the angle between the subspaces ${\mathcal {U}}$ and ${\mathcal {W}}$ in the orthogonal complement to ${\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}$. Imagining the angle between two planes in 3D, one intuitively thinks of the largest angle, $\theta _{2}>0$.

Przykład algebraiczny

W 4-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni współrzędnych R ^{4 ,} $2$ dwuwymiarowa podprzestrzeń $będzie$ rozpięta przez ${\ Displaystyle u_ {1} = (1$ u ${\ Displaystyle u_ {2} = (0,1,0,0)}$ niech dwuwymiarowa podprzestrzeń $\ Displaystyle {\ mathcal {W}}}$ być rozciągnięty przez ${\ Displaystyle w_ {1} = (1,0,0, a) / {\ sqrt {1 + a ^ {2}}}}$ i ${\ Displaystyle w_ {2} = (0,1, b, 0) / {\ sqrt {1 + b ^ {2 }}}}$ z pewnymi prawdziwymi takimi, że za ${\ Displaystyle | a | <| b |}$$\ displaystyle a}$ b $\ displaystyle b}$ . Wtedy i $w_ {1}}$${\ Displaystyle$ są w rzeczywistości parą głównych wektorów odpowiadających kątowi z ${\ Displaystyle \ cos (\ teta _ {1}) = 1 / {\ sqrt {1 + a ^ {2}}}}$$\ theta _ {1}}$ i $}$${\ Displaystyle u_$$+$ i ${\ Displaystyle \ cos (\ theta _ {2}) = 1 / {\ sqrt {1 + b ^ {2}}}.}$ kątowi z $sałatą$

Aby skonstruować parę podprzestrzeni z dowolnym zestawem kątów $w$$\ Displaystyle \ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {k}}$ a ${ \ Displaystyle 2k}$ (lub większa) wymiarowa przestrzeń euklidesowa $,$ weź podprzestrzeń z podstawą ortonormalną $\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {k})}$ i uzupełnij ją do bazy ortonormalnej ${\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$ przestrzeni euklidesowej, gdzie ${\ displaystyle n \ geq 2k}$ . Wtedy podstawa ortonormalna drugiej podprzestrzeni to np. ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$

${\ Displaystyle (\ cos (\ theta _ {1}) e_ {1} + \ sin (\ theta _ {1}) e_ {k + 1}, \ ldots, \ cos (\ theta _ {k}) e_ {k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}$

Podstawowe właściwości

• Jeśli największy kąt wynosi zero, jedna podprzestrzeń jest podzbiorem drugiej.
• Jeśli największym kątem jest $podprzestrzeni jest co najmniej jeden$ prostopadły do ​​drugiej podprzestrzeni
• Jeśli najmniejszy kąt wynosi zero, to podprzestrzenie przecinają się przynajmniej w jednej linii.
• $wynosi$ kąt , podprzestrzenie są
• Liczba kątów równa zeru jest wymiarem przestrzeni, w której przecinają się dwie podprzestrzenie.

Zaawansowane właściwości

• Nietrywialne (różne od i $) kąty między dwiema$$podprzestrzeniami$ jak nietrywialne kąty między ich ortogonalnymi dopełnieniami
• Nietrywialne kąty między podprzestrzeniami i odpowiadające im nietrywialne kąty między podprzestrzeniami $}}}$$\ displaystyle {\ mathcal$$}$$mathcal {$$.$ i sumują się do $pi / 2$ }
• Kąty między podprzestrzeniami spełniają nierówność trójkąta pod względem majoryzacji , a zatem mogą być użyte do określenia odległości na zbiorze wszystkich podprzestrzeni zamieniając zbiór w przestrzeń metryczną .
• Sinus kątów między podprzestrzeniami spełnia nierówność trójkąta pod względem majoryzacji , a zatem może być użyty do określenia odległości na zbiorze wszystkich podprzestrzeni zamieniając zbiór w przestrzeń metryczną . Na przykład sinus największego kąta jest znany jako przerwa między podprzestrzeniami.

Rozszerzenia

Pojęcie kątów i niektóre właściwości wariacyjne można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolne iloczyny wewnętrzne i podprzestrzenie o nieskończonych wymiarach .

Obliczenie

Historycznie rzecz biorąc, główne kąty i wektory pojawiają się po raz pierwszy w kontekście korelacji kanonicznej i zostały pierwotnie obliczone przy użyciu SVD odpowiednich macierzy kowariancji . Jednak, jak po raz pierwszy zauważono, korelacja kanoniczna jest związana z cosinusem głównych kątów, który jest źle uwarunkowany dla małych kątów, co prowadzi do bardzo niedokładnych obliczeń wysoce skorelowanych wektorów głównych w arytmetyce komputerowej o skończonej precyzji . Algorytm sinusach rozwiązuje ten problem, ale stwarza nowy problem polegający na bardzo niedokładnym obliczeniu wysoce nieskorelowanych wektorów głównych, ponieważ funkcja sinus jest źle uwarunkowana dla kątów bliskich π /2. Aby utworzyć dokładne wektory główne w arytmetyce komputerowej dla pełnego zakresu głównych kątów, łączona technika najpierw oblicza wszystkie główne kąty i wektory przy użyciu klasycznego podejścia opartego na cosinusie , a następnie ponownie oblicza główne kąty mniejsze niż π /4 i odpowiadającą im główną wektory przy użyciu podejścia sinusoidalnego . Połączona technika jest zaimplementowana w bibliotekach open source Octave i SciPy oraz wniesiona do MATLAB .

Zobacz też

• Rozkład według wartości osobliwych
• Korelacja kanoniczna