Karłowata przestrzeń projekcyjna
W matematyce skarłowaciała przestrzeń rzutowa jest konstrukcją przestrzeni rzutowej ważną w teorii homotopii , wprowadzonej przez Jamesa ( 1959 ). Część konwencjonalnej przestrzeni rzutowej jest załamana do punktu.
Konkretniej, w rzeczywistej przestrzeni rzutowej , złożonej przestrzeni rzutowej lub kwaternionowej przestrzeni rzutowej
- KP n ,
gdzie K oznacza liczby rzeczywiste , liczby zespolone lub kwaterniony , można znaleźć (na wiele sposobów) kopie
- KP m ,
gdzie m < n . Odpowiednia skarłowaciała przestrzeń projekcyjna jest wtedy
- KPn , m = KPn / KPm , _
gdzie zapis sugeruje, że KP m został zidentyfikowany do pewnego stopnia. To sprawia, przestrzeń topologiczna nie jest już rozmaitością . Znaczenie tej konstrukcji zostało uświadomione, gdy wykazano, że prawdziwe skarłowaciałe przestrzenie rzutowe powstały jako dualizm Spaniera-Whiteheada przestrzeni Ioana Jamesa , tak zwane przestrzenie quasi-rzutowe , zbudowane z rozmaitości Stiefela . Ich właściwości były zatem związane z budową pól ramowych na sferach .
W ten sposób pytanie o pola wektorowe na sferach zostało zredukowane do pytania o skarłowaciałe przestrzenie rzutowe: dla R P n,m , czy istnieje odwzorowanie pierwszego stopnia na „następnej komórce w górę” (pierwszego wymiaru nie załamanego w „skarłowaciałym '), która rozciąga się na całą przestrzeń? Frank Adams wykazał, że to nie może się zdarzyć, uzupełniając dowód.
zastosowano również przestrzenie KP ∞, m i skarłowaciałe przestrzenie soczewek .
- James, IM (1959), „Przestrzenie związane z rozmaitościami Stiefela”, Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 9 : 115–140, doi : 10.1112/plms/s3-9.1.115 , ISSN 0024-6115 , MR 0102810