Pola wektorowe na kulach
W matematyce dyskusja o polach wektorowych na sferach była klasycznym problemem topologii różniczkowej , poczynając od twierdzenia o włochatej kuli i wczesnych prac nad klasyfikacją algebr dzielenia .
W szczególności pytanie brzmi, ile liniowo niezależnych gładkich pól wektorowych nigdzie zerowych można skonstruować na kuli w N -wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Ostatecznej odpowiedzi udzielił w 1962 roku Frank Adams . Wiadomo już było, dzięki konstrukcji bezpośredniej z użyciem algebr Clifforda , że istnieją co najmniej ρ( N )-1 takich ciał (patrz definicja poniżej). Adams zastosował teorię homotopii i topologiczną teorię K aby udowodnić, że nie można znaleźć więcej niezależnych pól wektorowych. Stąd ρ( N )-1 jest dokładną liczbą punktowo liniowo niezależnych pól wektorowych, które istnieją na (N-1)-wymiarowej kuli.
Szczegóły techniczne
Szczegółowo pytanie dotyczy „okrągłych kul” i ich wiązek stycznych : w rzeczywistości, ponieważ wszystkie egzotyczne kule mają izomorficzne wiązki styczne, liczby Radona-Hurwitza ρ ( N ) określają maksymalną liczbę liniowo niezależnych odcinków wiązka styczna dowolnej sfery homotopii. Przypadek N nieparzystego jest rozpatrywany przez twierdzenie Poincarégo – Hopfa o indeksie (patrz twierdzenie o włochatej kuli ), więc przypadek N jest nawet przedłużeniem tego. Adams wykazał, że maksymalna liczba ciągłych ( gładkich nie byłoby tutaj inaczej) punktowo liniowo niezależnych pól wektorowych na kuli ( N - 1) wynosi dokładnie ρ ( N ) - 1.
Konstrukcja pól jest powiązana z rzeczywistymi algebrami Clifforda , czyli teorią z okresowością modulo 8, która również tutaj się pojawia. W procesie Grama-Schmidta to samo jest prosić o (punktową) niezależność liniową lub pola, które dają podstawę ortonormalną w każdym punkcie.
Liczby Radona-Hurwitza
Radona -Hurwitza ρ ( n ) występują we wcześniejszych pracach Johanna Radona (1922) i Adolfa Hurwitza (1923) na temat problemu Hurwitza na formach kwadratowych . Dla N zapisanego jako iloczyn liczby nieparzystej A i potęgi dwójki 2 B napisz
- b = do + 4 re , 0 ≤ do < 4.
Następnie
- ρ ( N ) = 2 do + 8 re .
Kilka pierwszych wartości ρ (2 n ) to (z (sekwencja A053381 w OEIS )):
- 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 9, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 10, ...
Dla nieparzystego n wartość funkcji ρ ( n ) wynosi jeden.
Liczby te występują także w innych, pokrewnych obszarach. W teorii macierzy liczba Radona-Hurwitza określa maksymalny rozmiar liniowej podprzestrzeni rzeczywistych macierzy n × n , dla których każda niezerowa macierz jest transformacją podobieństwa , czyli iloczynem macierzy ortogonalnej i macierzy skalarnej . W formach kwadratowych problem Hurwitza wymaga multiplikatywnych tożsamości między formami kwadratowymi. Klasyczne wyniki zostały ponownie zbadane w 1952 roku przez Beno Eckmanna . Obecnie są one stosowane w takich dziedzinach, jak teoria kodowania i fizyka teoretyczna .
- Porteous, IR (1969). Geometria topologiczna . Van Nostranda Reinholda. s. 336–352 . ISBN 0-442-06606-6 . Zbl 0186.06304 .
- Miller, HR „Pola wektorowe na sferach itp. (Notatki z kursu)” (PDF) . Źródło 10 listopada 2018 r .