Klasyfikacja komponentów Fatou

W matematyce składniki Fatou są składnikami zbioru Fatou . Zostały nazwane na cześć Pierre'a Fatou .

Sprawa racjonalna

{\ Displaystyle f = {\ Frac {P (z)} {Q (z)}}}

zdefiniowana w rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej , a jeśli jest to funkcja nieliniowa (stopień > 1)

{\ Displaystyle d (f) = \ max (\ stopień (P), \, \ stopień (Q)) \ geq 2 ,}

składnika okresowego zbioru Fatou dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: ${\ displaystyle U}$

$zawiera$ punkt okresowy
jest $_$ _
${\ displaystyle U}$ to dysk Siegela : po prostu połączony komponent Fatou, na którym f ( z ) jest analitycznie sprzężony z euklidesowym obrotem dysku jednostkowego na siebie o niewymierny kąt obrotu.
$pierścieniem$ Hermana : podwójnie połączoną składową Fatou ( pierścień ), na której f ( z ) jest analitycznie sprzężone z euklidesowym obrotem okrągłego pierścienia, ponownie o irracjonalny kąt obrotu .

Zestaw Julia (biały) i zestaw Fatou (ciemnoczerwony / zielony / niebieski) dla $\ Displaystyle f: z \ mapsto z- {\ frac {g} {g'}} (z)}$ z ${\ Displaystyle g: z \ mapsto z ^ {3} -1}$ na płaszczyźnie zespolonej.
Zestaw Julia z cyklem parabolicznym
Zestaw Julia z dyskiem Siegel (eliptyczne etui)
Julia komplet z pierścionkiem Herman

Przyciąganie punktu okresowego

Elementy $_$ _ przyciąganie punktów, które są rozwiązaniami ${\ displaystyle z ^ {3} = 1}$ . Dzieje $się tak$ do znalezienia rozwiązań równania według wzoru Newtona – Raphsona . Rozwiązania muszą naturalnie przyciągać punkty stałe.

Płaszczyzna dynamiczna składa się z 2 superatrakcyjnych basenów z okresu 1 Fatou, z których każdy ma tylko jeden składnik.
Krzywe i promienie poziomu w superatrakcyjnej obudowie
Zestaw Julii z cyklami superatrakcyjnymi (hiperbolicznymi) we wnętrzu (okres 2) i na zewnątrz (okres 1)

Pierścień Hermana

Mapa

{\ Displaystyle f (z) = e ^ {2 \ pi to} z ^ {2} (z-4) /(1-4z)}

a t = 0,6151732... da pierścień Hermana. Shishikura pokazuje , że stopień takiej mapy musi wynosić co najmniej 3, jak w tym przykładzie.

Więcej niż jeden typ komponentu

Jeśli stopień d jest większy niż 2, to istnieje więcej niż jeden punkt krytyczny, a następnie może istnieć więcej niż jeden typ komponentu

Herman+Paraboliczny
Okres 3 i 105
przyciągający i paraboliczny
okres 1 i okres 1
okres 4 i 4 (2 baseny przyciągające)
dwa baseny z okresu 2

Transcendentalny przypadek

Domena Bakera

W przypadku funkcji przestępnych istnieje inny typ okresowych składników Fatou, zwany dziedziną Bakera : są to „ dziedziny , w których iteracje dążą do zasadniczej osobliwości (niemożliwe dla wielomianów i funkcji wymiernych)”. Przykładem takiej funkcji jest:

{\ Displaystyle f (z) = z-1 + (1-2z) e ^ {z}}

Wędrująca domena

Mapy transcendentalne mogą mieć wędrujące domeny : są to komponenty Fatou, które ostatecznie nie są okresowe.

Zobacz też

Lennart Carleson i Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics , Springer 1993.
Alan F. Beardon Iteracja funkcji wymiernych , Springer 1991.

[1] wikibooks: paraboliczne zestawy Julii

[2] Milnor, John W. (1990), Dynamika w jednej zmiennej zespolonej , arXiv : math / 9201272 , Bibcode : 1992math......1272M

[3] Wprowadzenie do dynamiki holomorficznej (ze szczególnym uwzględnieniem funkcji transcendentalnych) autorstwa L. Rempe

[4] Dyski Siegela w złożonej dynamice autorstwa Tarakanta Nayak

[5] Transcendentalna rodzina z domenami Baker autorstwa Aimo Hinkkanena, Hartje Kriete i Bernda Krauskopfa

[6] JULIA I JAN ZREWIZYTOWANI PRZEZ NICOLAE MIHALACHE