Płyta Siegela

Dysk Siegela jest połączonym elementem zestawu Fatou , w którym dynamika jest analitycznie sprzężona z irracjonalnym obrotem .

Opis

Biorąc pod uwagę endomorfizm holomorficzny na powierzchni Riemanna , rozważamy system dynamiczny generowany przez iteracje oznaczone przez ${\ Displaystyle f ^ {n} = f \ circ {\ stackrel {\ lewo (n \ prawo)} {\ cdots}} \ circ f}$$\ do$$Displaystyle$$S }$ . ${\ Displaystyle z_ {0}$ nazywamy orbitę jako zbiór iteracji do przodu $} \displaystyle z_{0}}$$\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {+} (z_ {0})}$ z . Interesuje nas asymptotyczne zachowanie orbit w będzie $,$ płaszczyzna $zespolona$ lub ∞ = \ mathbb { $C} \ cup \ {\ infty \}}$ , sfera Riemanna ) i nazywamy $fazową$ lub płaszczyznę dynamiczną .

$z$ możliwych asymptotycznych zachowań punktu jest bycie punktem stałym lub ogólnie okresowym . W tym ostatnim przypadku $=$$}$ \ displaystyle p $1}$$displaystyle p$ oznacza $,$ ​​jest punktem stałym. Możemy wtedy zdefiniować tzw mnożnik orbity $jako$ to ${\ Displaystyle | \ rho | <1}$ _ _ superatrakcyjne, jeśli ${\ Displaystyle |\ rho |=0}$ ), odpychające, jeśli ${\ Displaystyle |\ rho |> 1}$ i obojętne, czy ${\ displaystyle \ rho = 1}$ . Obojętne orbity $Displaystyle$ mogą być racjonalnie obojętne lub ${\ Displaystyle \ rho ^ {n} \ neq 1}$ obojętne , $n \ in \ mathbb {Z}$ zależności od tego, czy dla jakiegoś lub dla wszystkich ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ .

Dyski Siegela są jednym z możliwych przypadków połączonych elementów w zbiorze Fatou (komplementarnym zbiorze zbioru Julii ), zgodnie z klasyfikacją składników Fatou i mogą występować wokół irracjonalnie obojętnych punktów okresowych. Zbiór Fatou jest z grubsza zbiorem punktów, w których iteracje zachowują się podobnie do swoich sąsiadów (tworzą normalną rodzinę ). Dyski Siegela odpowiadają punktom $,$ w których dynamika jest analitycznie do irracjonalnego obrotu zespolonego dysku jednostkowego.

Nazwa

Dysk został nazwany na cześć Carla Ludwiga Siegela .

Galeria

• 

  Dysk Siegela do mapowania wielomianowego

• 

  Julia zestaw dla $)$${\ Displaystyle B (z) = \ lambda a (e ^ {z/a} (z + 1$$i$$podziałem$ a - } gdzie złotym Orbity niektórych punktów wewnątrz Podkreślono dysk Siegela

• 

  Julia zestaw dla ${\ Displaystyle B (z) = \ lambda a (e ^ {z/a} (z + 1 -a) + a-1)}$ , gdzie ${\ Displaystyle a = -0,33258 + 0,10324i}$ i jest złotym podziałem ${\ Displaystyle \ lambda}$ . Podkreślono orbity niektórych punktów wewnątrz dysku Siegela . Dysk Siegela jest albo nieograniczony , albo jego granica jest nierozkładalnym kontinuum .

• 

  Wypełniony zestaw Julii dla liczby ${\ Displaystyle f_ {c} (z) = z * z +$ złotej średniej z kolorem wnętrza proporcjonalnym do średniej prędkości dyskretnej na orbicie = abs( z_(n+1) - z_n ). Zauważ, że jest tylko jeden dysk Siegela i wiele obrazów wstępnych orbit w dysku Siegela

• 
• 
• 

  Składanie dysku Siegela w pobliżu 1/2

• 

  Składanie dysku Siegela w pobliżu 1/3. Można zobaczyć wirtualny dysk Siegela

• 

  Składany dysk Siegela w pobliżu 2/7

• 
• 
• 

  Zestaw Julii dla fc(z) = z*z+c gdzie c = -0,749998153581339 +0,001569040474910*I. Kąt wewnętrzny w zwojach wynosi t = 0,49975027919634618290

• 

  Zestaw Julii wielomianu kwadratowego z dyskiem Siegela dla liczby rotacji [3,2,1000,1...]

• 

Definicja formalna

Niech $do$ endomorfizmem holomorficznym , gdzie jest powierzchnią Riemanna i niech U będzie $} styl wyświetlania {\ mathcal {F}} (f)}$ składnikiem zbioru Fatou { $\ Displaystyle f \$ . Mówimy $,$ że U jest dyskiem Siegela f wokół punktu, istnieje biholomorfizm ${\ Displaystyle \ phi: U \ do \ mathbb {D}}$$gdzie$ dyskiem jednostkowym i takim, że ${\ Displaystyle \ phi (f ^ {n} (\ phi ^ {- 1} (z)}) = e ^ {2 \ pi i \ alfa n} z} dla$ pewnego ${ \displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}}$ i ${\ Displaystyle \ phi (z_ {0}) = 0}$ .

Siegela dowodzi istnienia dysków Siegela dla liczb niewymiernych , spełniających warunek silnej irracjonalności ( warunek diofantyczny ), rozwiązując w ten sposób otwarty problem, ponieważ Fatou przypuszczał swoje twierdzenie o klasyfikacji składników Fatou .

Później Alexander D. Brjuno poprawił ten warunek na irracjonalność, powiększając go do liczb Brjuno .

To część wyniku z Klasyfikacji komponentów Fatou .

Zobacz też

• Douady królik
• Pierścień Hermana

• Dyski Siegela w Scholarpedia