Klasyfikacja niskowymiarowych rzeczywistych algebr Liego

Ta lista związana z matematyką zawiera klasyfikację niskowymiarowych rzeczywistych algebr Liego dokonaną przez Mubarakzyanova , opublikowaną w języku rosyjskim w 1963 roku. Uzupełnia ona artykuł o algebrze Liego w dziedzinie algebry abstrakcyjnej .

Angielską wersję i przegląd tej klasyfikacji opublikowali Popovych i in. w 2003.

Klasyfikacja Mubarakzjanowa

Niech $}}$$n$ będzie dwuwymiarową Lie nad polem liczb rzeczywistych z generatorami ${\ Displaystyle e_ {1 }, \ kropki, e_ {n}}$ , ${\ Displaystyle n \ równoważnik 4}$ . Dla każdej algebry $.$ tylko niezerowe komutatory między elementami bazowymi

Jednowymiarowy

• ${g}} _ {1}}$ mathfrak abelowy .

Dwuwymiarowy

• ${\ Displaystyle 2 {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ abelowy ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ;
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2.1}}$ , rozwiązywalny $Displaystyle {\ mathfrak {aff}} (1 )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \right\}}$ ,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}.}$

Trójwymiarowy

• ${\ Displaystyle 3 {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ abelowy, Bianchi ja ;
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2.1} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ , rozkładalny rozwiązywalny, Bianchi III;
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.1}}$ , algebra Heisenberga-Weyla, nilpotent, Bianchi II,

${\ Displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.2}}$ rozwiązywalny, Bianchi IV,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}$

• ${\ Displaystyle {\mathfrak {g}}_ {3.3}}$ , rozwiązywalny, Bianchi V,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};} sol 3.4 {$

• ${\ mathfrak {g }} _ {3.4}}$ , rozwiązywalny, Bianchi VI, algebra Poincaré ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} (1,1)}$ kiedy ${\ Displaystyle \ alpha = -1 }$ ,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = \ alfa e_ {2}, \ quad -1 \ równoważnik \ alfa < 1, \ quad \ alfa \ neq 0;}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3,5}}$ , rozwiązywalny, Bianchi VII,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = \ beta e_ {1} -e_ {2}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + \ beta e_ { 2} \ quad \ beta \ geq 0;}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.6}}$ , prosty, Bianchi VIII, ${\ Displaystyle {\ mathfrak { sl}}(2,\mathbb {R}),}$

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, \ quad [e_ {1}, e_ {3} }] = 2e_ {2};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.7}}$ prosty, Bianchi IX, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3 ),}$

${\ Displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {3}, e_ {1}] = e_ {2}, \ quad [e_ {1}, e_ {2} }]=e_{3}.}$

Algebra ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.3}}$ może być traktowana jako skrajny przypadek ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.5}}$ , gdy ${\ displaystyle \beta \rightarrow \infty }$ , tworząc skrócenie algebry Liego.

Nad polem algebry ${g}} _ {3.5}}$$\$ mathfrak $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.7} }$ są izomorficzne odpowiednio z sol $\ Displaystyle {$ \ ${g}} _ {3.4}$

Czterowymiarowy

• ${\ Displaystyle 4 {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ abelowy;
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2.1} \ oplus 2 {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ rozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1};}$

• ${\ Displaystyle 2 {\ mathfrak {g}} _ {2.1}}$ , rozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1} \ quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {3};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}_{3.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ , rozkładalny nilpotent,

${\ Displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3,2} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ , rozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.3} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ , rozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};} sol 3,4$

• $Displaystyle {\ mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ , rozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = \ alfa e_ {2}, \ quad -1 \ równoważnik \ alfa < 1, \ quad \ alfa \ neq 0;}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3,5} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ , rozkładalny rozwiązalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = \ beta e_ {1} -e_ {2} \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + \ beta e_ {2 } \ quad \ beta \ geq 0;}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3,6} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}} nierozwiązywalny$ ,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, \ quad [e_ {1}, e_ {3} }] = 2e_ {2};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3,7} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ nierozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {3}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {3}, e_ {1} }] = e_ {2};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.1}}$ , nierozkładalny nilpotent,

${\ Displaystyle [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1}, \ quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};} sol$

• $\ Displaystyle {\ mathfrak {g }}_{4.2}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = \ beta e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {2}, \ quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2}+ e_ {3}, \ quad \ beta \ neq 0;}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.3}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, \ quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g }}_{4.4}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1} + e_ {2}, \ quad [e_ {3} }, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4,5}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = \ alfa e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {4}] = \ beta e_ {2}, \ quad [e_ {3} e_ {4}] = \ gamma e_ {3}, \ quad \ alfa \ beta \ gamma \ neq 0;} sol$

• $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4,6}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = \ alfa e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {4}] = \ beta e_ {2} -e_ {3}, \ quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + \ beta e_ {3}, \ quad \ alfa> 0;} sol$

• $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4,7}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {4} }] = e_ {2}, \ quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4,8}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {1}, e_ {4}] = (1 + \ beta) e_ {1}, \ quad [e_ { 2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\beta e_{3},\quad -1\równik \beta \równik 1;}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.9}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2 \ alfa e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_{4}]=\alpha e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\alpha e_{3},\quad \alpha \geq 0;}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.10}}$ , nierozkładalny rozwiązywalny,

${\ Displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2}, \ quad [e_ {1}, e_ {4} }]=-e_{2},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}.}$

Algebra ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.3}}$ może być uważana za skrajny przypadek ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.2}}$ , kiedy ${\ displaystyle \beta \rightarrow 0}$ , tworząc skrócenie algebry Liego.

nad polem algebry $}} _ {3,5} \ oplus {\ mathfrak {g}} _$${1}$ } ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3,7} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}} sol$ 4,6 $Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4,6} }$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.9}}$ sol $Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.10}}$ \ są izomorficzne z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {3.4} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {1}} sol 3.6 ⊕ sol$ 1 $mathfrak {g}} _ {3.6} \ oplus {\ mathfrak {g }} _ {1}}$ sol ${g}} _ {4.5}}$${2{\mathfrak {g}}}_{2.1}} .$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {4.8}}$ 2 sol $\ Displaystyle$ odpowiednio

Notatki

•    Mubarakzjanow, GM (1963). „O rozwiązywalnych algebrach Liego” . Izw. Vys. Ucheb. zawstydzony. Matematyka (po rosyjsku). 1 (32): 114–123. MR 0153714 . Zbl 0166.04104 .
•   Popowycz, RO; Bojko, VM; Nesterenko, MO; Lutfullin, MW; i in. (2003). „Realizacje rzeczywistych niskowymiarowych algebr Liego”. J. Fiz. O: Matematyka. gen . 36 (26): 7337–7360. arXiv : matematyka-ph/0301029 . Bibcode : 2003JPhA...36.7337P . doi : 10.1088/0305-4470/36/26/309 . S2CID 9800361 .