Konstrukcja złożonej tetrady zerowej

Obliczenia w formalizmie ogólnej teorii względności Newmana -Penrose'a (NP) zwykle rozpoczynają się od konstrukcji złożonej tetrady zerowej ${\ Displaystyle \ {l ^ {a}, n ^ {a}, m ^ {a}, {\ bar {m}} ^ {a} \}}$ , gdzie $}$${\ Displaystyle \ {l ^ {a}, n ^ {a} \$ } $_$ parą rzeczywistych i _ _ . Te tetradowe wektory są zgodne z następującymi warunkami normalizacji i metryki, przy założeniu sygnatury czasoprzestrzennej ${\ Displaystyle (-, +, +, +):}$

• ${\ Displaystyle l_ {a} l ^ {a} = n_ {a} n ^ {a} = m_ {a} m ^ {a} = {\ bar {m}} _ {a} {\ bar {m} }^{a}=0\,;}$
• ${\ Displaystyle l_ {a} m ^ {a} = l_ {a} {\ bar {m}} ^ {a} = n_ {a} m ^ {a} = n_ {a} {\ bar {m}} ^{a}=0\,;}$
• ${\ Displaystyle l_ {a} n ^ {a} = l ^ {a} n_ {a} = -1 \ , \; \; m_ {a} {\ bar {m}} ^ {a} = m ^ {a}{\bar {m}}_{a}=1\,;}$
• ${\ Displaystyle g_ {ab} = - l_ {a} n_ {b} - n_ {a} l_ {b} + m_ {a} {\ bar {m}} _ {b} + {\ bar {m}} _{a}m_{b}\,,\;\;g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{ \bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.}$

Dopiero po tetradzie ${\ Displaystyle \ {l ^ {a}, n ^ {a}, m ^ {a}, {\ bar {m}} ^ { a} \}}$ zostaje skonstruowany, czy można posunąć się naprzód, aby obliczyć pochodne kierunkowe , współczynniki wirowania , komutatory , skalary Weyla-NP ${\ Displaystyle \ Psi _ {i}}$ , skalary Ricci-NP $Phi _ {ij}}$${\ Displaystyle \$$Skalary$ i Maxwell-NP NP. Istnieją trzy najczęściej stosowane metody konstruowania złożonej tetrady zerowej:

1. Wszystkie cztery wektory tetradowe są nieholonomicznymi kombinacjami ortonormalnych tetrad holonomicznych ;
2. ${\ Displaystyle l ^ {a}}$ (lub $są$ wyrównane z wychodzącym (lub wchodzącym) stycznym polem wektorowym zerowej geodezji radialnej , podczas gdy $\ displaystyle m ^ {a}}$ i $są$ metodą
3. Tetrada dostosowana do struktury czasoprzestrzennej z perspektywy 3+1, przy założeniu jej ogólnej postaci i rozwiązania w niej funkcji tetradowych.

W poniższym kontekście zostanie pokazane, jak działają te trzy metody.

Uwaga: Oprócz konwencji $\ Displaystyle \ {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = - 1 \, m ^ {a }{\bar {m}}_{a}=1\}}$ użyty w tym artykule, drugim używanym jest ${\ Displaystyle \ {(+, -, -, -); l ^ {a} n_ {a} = 1 \, m ^ {a} {\bar {m}}_{a}=-1\}}$ .

Tetrada nieholonomiczna

Podstawową metodą konstruowania złożonej tetrady zerowej są kombinacje baz ortonormalnych. sol za $ab}}$${\ Displaystyle \ {\ omega _ {0} \ ,, \ omega _ {1} \,,\omega _{2}\,,\omega _{3}\}}$ z tetradą ortonormalną ,

$\ Displaystyle g_ {ab} = - \ omega _ {0} \ omega _ {0} + \ omega _ {1 }\omega_{1}+\omega_{2}\omega_{2}+\omega_{3}\omega_{3}\,,}$

kowektory ${\ Displaystyle \ {l_ {a} \,, n_ {a} \,, m_ {a} \,, {\ bar {m}} _ {a}\}}$ nieholonomicznej zespolonej tetrady zerowej można skonstruować na podstawie

${\ Displaystyle l_ {a} dx ^ {a} = {\ Frac {\ omega _ {0} + \ omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,\quad n_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}-\omega _{1}}{\sqrt { 2}}} \ ,,}$${\ Displaystyle m_ {a} dx ^ {a} = {\frac {\omega _{2}+i\omega_{3}}{\sqrt {2}}}\,,\quad {\bar {m}}_{a}dx^{a}={ \frac {\omega _{2}-i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,}$

i wektory czworokątne ${\ Displaystyle \ {l ^ {a} \,, n ^ {a} \,, m ^ {a} \,, {\ bar {m}}^{a}\}}$ można uzyskać podnosząc indeksy ${\ Displaystyle \ {l_ {a} \,, n_ {a} \ ,, m_ {a} \ ,, {\ bar {m}} _ {a} \}}$ przez odwrotną metrykę $\ Displaystyle g ^ {ab}}$ .

Uwaga: Konstrukcja nieholonomiczna jest w rzeczywistości zgodna z lokalną strukturą stożka świetlnego .

Przykład: nieholonomiczna tetrada

Biorąc pod uwagę metrykę czasoprzestrzenną postaci (w podpisie (-,+,+,+))

${\ Displaystyle g_ {ab} = - g_ {tt} dt ^ {2 }+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }d\phi ^{2}\,,}$

zatem nieholonomiczne kowaktory ortonormalne są

${\ Displaystyle \ omega _ {t} = {\ sqrt { g_{tt}}}dt\,,\;\;\omega _{r}={\sqrt {g_{rr}}}dr\,,\;\;\omega _{\theta}={\sqrt {g_{\theta \theta}}}d\theta \,,\;\;\omega _{\phi}={\sqrt {g_{\phi \phi}}}d\phi \,,}$

i dlatego nieholonomiczne kowaktory zerowe są

${\ Displaystyle l_ {a} dx ^ {a} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} ( {\ sqrt {g_ {tt}}} dt + {\ sqrt {g_ {rr}}} dr) \,,}$${ \ Displaystyle n_ {a} dx ^ {a} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} ({\ sqrt {g_ {tt}}} dt - {\ sqrt {g_ {rr}}} dr ) \,,}$

${\ Displaystyle m_ {a} dx ^ {a} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta +i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,,}$${\ Displaystyle {\ bar {m}} _ {a} dx ^ {a} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} ({\ sqrt {g_ {\ teta \ teta}}} d \ theta -i {\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,.}$

l ^a ( n ^a ) wyrównane z zerową geodezją radialną

W $skonstruowane$ Minkowskiego nieholonomicznie wektory zerowe wychodzącym promieniom radialnym Jako rozszerzenie tego pomysłu w rodzajowych zakrzywionych czasoprzestrzeniach $można$ wyrównać ze stycznym kongruencja radialna . Jednak ten typ adaptacji działa tylko dla ${\ Displaystyle \ {t, r, \ theta, \ phi \}}$ , ${\ Displaystyle \ { u, r, \ theta, \ phi \}}$ lub ${\ Displaystyle \ {v, r, \ theta, \ phi \}}$ współrzędne, w których można dobrze opisać zachowania promieniowe ${\ displaystyle u}$ i ${\ displaystyle v}$ oznaczają odpowiednio wychodzącą (opóźnioną) i wchodzącą (zaawansowaną) współrzędną zerową.

Przykład: tetrada zerowa dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych Eddingtona-Finkelsteina

${\ Displaystyle ds ^ {2 }=-Fdv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2})\,,\; \;{\text{z }}F\,:=\,{\Duży (}1-{\frac {2M}{r}}{\Duży )}\,,}$

więc Lagrange'a dla zerowej geodezji radialnej czasoprzestrzeni Schwarzschilda wynosi

${\ Displaystyle L = - F {\ kropka {v}} ^ {2} + 2 {\ kropka {v}} {\ kropka {r}} \, ,}$

który ma wychodzące rozwiązanie ${\ Displaystyle {\ kropka {v}} = 0}$ i wychodzące rozwiązanie ${\ Displaystyle {\ kropka {r}} = {\ frac {F} 2}}{\kropka {v}}}$ . Teraz można skonstruować złożoną tetradę zerową, która jest dostosowana do nadchodzącej geodezji zerowej radialnej:

${\ Displaystyle l ^ {a} = ( 1,{\frac {F}{2}},0,0)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={ \frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta)\,,}$

a zatem kowaktory o podwójnej podstawie są

${\ Displaystyle l_ {a} = (- {\ Frac {F} {2}}, 1,0,0) \, \ quad n_ {a} = (-1,0,0,0) \,, \quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,i\sin \theta)\,.}$

Tutaj wykorzystaliśmy warunek normalizacji krzyżowej, a także warunek normalizacji krzyżowej $Displaystyle l ^ {a} n_ {a} = n ^ {a} l_ {a} = -1}$ sol za $Displaystyle g_ {ab} + l_ {a} n_ {b} + n_ {a} l_ {b}} powinien obejmować$ metrykę ${ \ displaystyle h_ {AB}}$ dla przekrojów {v = stała, r = stała}, gdzie ${\ displaystyle dv}$ i ${\ displaystyle dr}$ nie są wzajemnie ortogonalne. Również pozostałe dwa (ko) wektory tetradowe są zbudowane nieholonomicznie. Po zdefiniowaniu tetrady można teraz odpowiednio znaleźć współczynniki spinu, skalary Weyla-Np i skalary Ricciego-NP, które

${\ Displaystyle \ kappa = \ sigma = \ tau = 0 \ \ quad \ nu = \ lambda = \ pi = 0 \ , \ quad \ gamma = 0}$${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {-r + 2M} {2r ^ {2}}} \ ,, \ quad \ mu = - {\ Frac {1} {r}} \, \ quad \ alfa = -\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta}{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M}{2r^{2}}}\,; }$

${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = \ Psi _ {3} = \ Psi _ {4} =0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {00} = \ Phi _ {10} = \ Phi _ {20} = \ Phi _ {11} = \ Phi _ {12} = \ Phi _ {22} = \ Lambda = 0 \ ,.}$

Przykład: tetrada zerowa dla ekstremalnej metryki Reissnera – Nordströma we współrzędnych Eddingtona-Finkelsteina

${\ Displaystyle ds ^ {2 }=-Gdv^{2}+2dvdr+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}\, ,\;\;{\text{z }}G\,:=\,{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,,}$

więc jest Lagrange'a

${\ Displaystyle 2L = - G {\ kropka {v}} ^ {2} + 2 {\ kropka {v}} {\ kropka {r}} + r ^ {2} ({\ kropka {\ teta}} ^ {2}+\sin ^{2}\!\theta \,{\kropka {\phi}}^{2})\,.}$

Dla zerowej geodezji radialnej z ${\ Displaystyle \ {L = 0 \, {\ kropka {\ theta}} = 0 \, {\ kropka {\ phi}} = 0\}}$ , istnieją dwa rozwiązania

${\ Displaystyle {\ kropka {v}} = 0}$ (wchodzący) i ${\ Displaystyle {\ kropka {r}} = 2F {\ kropka {v}}}$ (wychodzący) ,

i dlatego tetradę dla wchodzącego obserwatora można ustawić jako

${\ Displaystyle l ^ {a} \ częściowe _ {a} \, = \, {\ Duży ( }1\,,{\frac {F}{2}}\,,0\,,0{\Big )}\,,\quad n^{a}\częściowe _{a}\,=\,{ \Big (}0\,,-1\,,0\,,0{\Big )}\,,}$

${\ Displaystyle l_ {a} dx ^ {a} \, = \, {\ Duży (} - {\ Frac {F} {2}} \, 1 \,, 0,0 {\Duży}}\,,\quad n_{a}dx^{a}\,=\,{\Duży (}-1\,,0\,,0\,,0{\Duży)}\, ,}$

${\ Displaystyle m ^ {a} \ częściowe _ {a} \, = \, {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \, {\ Duży (} 0 \,, 0 \,, {\ frac {1}{r}}\,,{\frac {i}{r\sin \theta }}{\Big )}\,,\quad m_{a}dx^{a}\,=\,{ \frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\Duży (}0\,,0\,,r\,,i\sin \theta {\Duży)}\,.}$

Po zdefiniowaniu tetrady jesteśmy teraz w stanie obliczyć współczynniki spinu, skalary Weyla-NP i skalary Ricciego-NP, które

${\ Displaystyle \ kappa = \ sigma = \ tau = 0 \ \ quad \ nu = \ lambda = \ pi = 0 \ , \ quad \ gamma = 0}$${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {(rM) ^ {2}} {2r ^ {3}}} \ \ quad \ mu = - {\ Frac {1} {r}} \ \ quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M(rM)}{2r^{3 }}}\,;}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = \ Psi _ {3} = \ Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {(Mr-M)}{r^{4}}}\,,}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {00} = \ Phi _ {10} = \ Phi _ {20} = \ Phi _ {12} = \ Phi _ {22} = \ Lambda = 0 \, \ quad \ Phi _ {11}=-{\frac {M^{2}}{2r^{4}}}\,.}$

Tetrady dostosowane do struktury czasoprzestrzeni

W niektórych typowych obszarach granicznych, takich jak zerowa nieskończoność, nieskończoność podobna do czasu , nieskończoność podobna do przestrzeni , horyzonty czarnych dziur i horyzonty kosmologiczne , zwykle stosuje się tetrady zerowe przystosowane do struktur czasoprzestrzennych, aby uzyskać najbardziej zwięzłe opisy Newmana-Penrose'a .

Tetrada Newmana-Untiego dla zerowej nieskończoności

asymptotycznych zachowań przy zerowej nieskończoności stosuje się klasyczną tetradę Newmana-Untiego (NU) ,

${\ Displaystyle l ^ {a} \ częściowe _ {a} = \ częściowe _ {r}: = D \,,}$${\ Displaystyle n ^ {a} \ częściowe _ {a} = \ częściowe _ {u} + U \ częściowe _ {r} + X \ częściowe _ {\ varsigma }+{\bar {X}}\częściowa _{\bar {\varsigma }}:=\Delta \,,} m$${\ Displaystyle m ^ {a} \ częściowe _ {a} = \ omega \ częściowe _ {r} + \ xi ^ {3} \ częściowe _ {\ varsigma} + \ xi ^ {4} \ częściowe _ { \ bar {\ varsigma}}: = \ delta \,,}$${\ Displaystyle {\ bar { m}}^{a}\częściowy _{a}={\bar {\omega}}\częściowy _{r}+{\bar {\xi}}^{3}\częściowy _{\bar {\varsigma }}+{\bar {\xi}}^{4}\częściowe _{\varsigma}:={\bar {\delta}}\,,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ {U, X, \ omega, \ xi ^ {3}, \ xi ^ {4} \}}$ są funkcjami tetradowymi do rozwiązania. W przypadku tetrady NU liście foliowania są parametryzowane przez ${\ displaystyle l_ {a} = du}$ ( zaawansowaną) współrzędną zerową $}$ , a ${\ displaystyle r$ jest znormalizowana współrzędna afiniczna wzdłuż $\ Displaystyle l ^ {a}}$${\ Displaystyle (Dr = l ^ {a} \ częściowy _ {a} r = 1)}$ ; wchodzący wektor zerowy $u$ generator zerowy w nieskończoności zerowej z $\ Displaystyle \ Delta u = n ^ {a} \ częściowy _$ . Współrzędne ${\ Displaystyle \ {u, r, \ varsigma, {\ bar {\ varsigma}} \}}$ obejmują dwie rzeczywiste współrzędne afiniczne ${\ Displaystyle \ { u, r \}}$ i dwie zespolone współrzędne stereograficzne ${\ Displaystyle \ {\ varsigma: = e ^ {i \ phi }\cot {\frac {\theta}{2}},{\bar {\varsigma}}=e^{-i\phi}\cot {\frac {\theta}{2}}\}},$ gdzie ${\ Displaystyle \ {\ theta, \ phi \}}$ to zwykłe współrzędne sferyczne w przekroju ${\ Displaystyle {\ hat {\ Delta}} _ {u} =S_{u}^{2}}$ (jak pokazano w odn., złożone współrzędne stereograficzne zamiast rzeczywistych współrzędnych izotermicznych są używane tylko dla wygody całkowitego rozwiązania równań NP).

Również dla tetrady NU podstawowe warunki skrajni są następujące

${\ Displaystyle \ kappa = \ pi = \ varepsilon = 0 \,, \ quad \ rho = {\ bar {\ rho}} \, \ quad \ tau = {\ bar {\ alfa}} + \ beta \, .}$

Dostosowana tetrada do użytku na zewnątrz i w pobliżu horyzontu izolowanych horyzontów

Aby uzyskać pełniejszy obraz czarnych dziur w definicjach quasilokalnych, wymagane są dostosowane tetrady, które można płynnie przenosić z zewnątrz do sąsiedztwa bliskiego horyzontu i do horyzontów. Na przykład dla izolowanych horyzontów opisujących czarne dziury w równowadze z ich powierzchniami zewnętrznymi, taką tetradę i powiązane współrzędne można skonstruować w ten sposób. Wybierz pierwszy rzeczywisty kowektor zerowy $\ displaystyle n_ {a}}$ gradient liści foliowania n za

$= - dv \ ,}$ { $\$ n_ { a } \ , sekcje i działa jako parametr afiniczny w odniesieniu do wychodzącego pola wektora zerowego ${\ displaystyle l ^ {a} \ częściowe _ {a}}$ , tj.

${\ Displaystyle Dv = 1 \,, \ quad \ Delta v = \ delta v = {\ bar {\ delta}} v = 0 \,.} Wprowadź drugą$ współrzędną ${\ displaystyle r}$ jako parametr afiniczny wzdłuż wchodzące zerowe pole wektorowe ${\ displaystyle n ^ {a}}$ które podlega normalizacji n

${\ Displaystyle n ^ {a} \ częściowe _ {a} r \, = \, -1 \; \ Strzałka w prawo \; n ^ {a} \ częściowe _ {a} \, = \, - \ częściowe _ {r }\,.}$

Teraz pierwszy prawdziwy zerowy wektor $jest$ . $_$ pozostałe _ kowektory, oprócz podstawowych warunków normalizacji krzyżowej, wymagane jest również, aby: (i) wychodzące zerowe pole normalne $działało$ zerowe; (ii) ramka zerowa ( kowektory ) ${\ Displaystyle \ {l_ {a}, n_ {a}, m_ {a}, {\ bar {m}} _ {a} \}}$ są równolegle propagowane wzdłuż ${\ Displaystyle n ^ {a} \ częściowe _ {a}}$ ; (iii) ${\ Displaystyle \ {m ^ {a}, {\ bar {m}} ^ {a} \}}$ obejmuje {t = stała, r = stała} przekroje które są oznaczone przez rzeczywiste współrzędne izotermiczne ${\ Displaystyle \ {y, z \}}$ .

Tetrady spełniające powyższe ograniczenia można wyrazić w ogólnej postaci tj

${\ Displaystyle l ^ {a} \ częściowe _ {a} = \ częściowe _ {v} + U \ częściowe _{r}+X^{3}\częściowo _{y}+X^{4}\częściowo _{z}\,:=\,D\,,} n$${\ Displaystyle n ^ {a} \ częściowe _ {a} = - \ częściowe _ {r} \,: = \, \ Delta \,,}$${\ Displaystyle m ^ {a} \ częściowe _ {a} = \ Omega \ częściowe _ {r} + \ xi ^ {3} \ częściowe _ {y} + \ xi ^ {4} \partial _{z}\,:=\,\delta \,,}$${\ Displaystyle {\ bar {m}} ^ {a} \ częściowe _ {a} = {\ bar {\ Omega}} \ częściowe _ {r} + {\ bar {\ xi}} ^ {3} \ częściowe _{y}+{\bar {\xi}}^{4}\częściowe _{z}\,:=\,{\bar {\delta}}\,.}$

Warunki skrajni w tej tetradzie są

${\ Displaystyle \ nu = \ tau = \ gamma = 0 \ \ quad \ mu = {\ bar {\ mu}} \, ,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta}}\,,}$

Uwaga: W przeciwieństwie do współrzędnych typu Schwarzschilda , tutaj r=0 reprezentuje horyzont , podczas gdy r>0 (r<0) odpowiada zewnętrznej (wewnętrznej) części izolowanego horyzontu. Ludzie często Taylor rozszerzają funkcję skalarną względem horyzontu r = 0, ${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle Q = \ suma _ {i = 0} Q ^ {(ja )}r^{i}=Q^{(0)}+Q^{(1)}r+\cdots +Q^{(n)}r^{n}+\ldots }$

gdzie $.$ wartości na horyzoncie Same współrzędne użyte w powyższej adaptowanej tetradzie są w rzeczywistości zerowymi współrzędnymi Gaussa używanymi do badania geometrii bliskiego horyzontu i mechaniki czarnych dziur.

Zobacz też

• Formalizm Newmana-Penrose'a