Kontrahent interwałowy
W matematyce kontrahenci interwałów (lub w skrócie kontrahenci ) powiązani ze zbiorem X to operator C , który łączy pudełko [ x ] w R n z innym pudełkiem C ([ x ]) z R n w taki sposób, że dwie następujące właściwości są zawsze zadowolony:
- (właściwość kontraktacji) do
![{\displaystyle C([x])\subset [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4320eb23c35c9c5ade446e41846dba2252ec1be8)
- (właściwość kompletności)
![{\displaystyle C([x])\cap X=[x]\cap X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148fc10a8363624914fb67d0b1305ab4484f0f52)
Kontrahent powiązany z ograniczeniem (takim jak równanie lub nierówność ) to wykonawca powiązany ze zbiorem X wszystkich x , które spełniają to ograniczenie. Kontrahenci umożliwiają poprawę wydajności rozgałęzionych klasycznie stosowanych w analizie interwałowej .
Właściwości kontrahentów
Kontrahent C jest monotoniczny , jeśli mamy .
![{\displaystyle [x]\subset [y]\Rightarrow C([x])\subset C([y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ce4a0d85092d3cb55261d32ac0557db3b8a9dc)
Jest minimalny , jeśli dla wszystkich pudełek [ x ] mamy do , gdzie A ] jest kadłubem interwałowym zbioru A , tj. najmniejszym pudełkiem obejmującym A .
![{\displaystyle C([x])=[[x]\cap X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea40b158f0492118e1321dfd6aa2617ccd9bd457)
Kontrahent C jest cienki , jeśli dla wszystkich punktów x , gdzie { x } oznacza zdegenerowane pudełko zawierające x jako pojedynczy punkt.
Kontrahent C jest idempotentny , jeśli dla wszystkich pól [ x ] mamy
![{\displaystyle C\circ C([x])=C([x]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e24ae23488aed1713bc77217959e1adfe4f9565)
Kontrahent C jest zbieżny , jeśli dla wszystkich ciągów [ x ] ( k ) pudełek zawierających x mamy
\rightarrow x\implies C([x](k))\rightarrow \{x\}\cap X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d969834c964b9eccbe73740fc5368a6f65fcff2c)
Ilustracja
Rysunek 1 przedstawia zestaw X pomalowany na szaro i niektóre pudełka, niektóre zdegenerowane (tj. odpowiadają one singletonom). Rysunek 2 przedstawia te pola po skurczeniu . Należy zauważyć, że żaden punkt X nie został usunięty przez wykonawcę. Wykonawca jest minimalny w przypadku cyjanowego pudełka, ale jest pesymistą w przypadku zielonego. Wszystkie zdegenerowane niebieskie pudełka są przypisane do pustego pudełka. Pudełko karmazynowe i czerwone pudełko nie mogą być zakontraktowane.
Algebra wykonawcy
Niektóre operacje można wykonać na kontrahentach w celu zbudowania bardziej złożonych kontrahentów. Przecięcie , połączenie , kompozycja i powtórzenie są zdefiniowane w następujący sposób .
![{\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})([x])=C_{1}([x])\cap C_{2}([x])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f396492613e10026445c06c374737ad75a4ddc)
![{\displaystyle (C_{1}\cup C_{2})([x])=[C_{1}([x])\cup C_{2}([x])]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680fa757cf62732a3a9d86eb31736288222f9bac)
![{\displaystyle (C_{1}\circ C_{2})([x])=C_{1}(C_{2}([x]))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f4597cc6fe3cd0c7b6f575f5f2e4781d4da31c)
![{\displaystyle C^{\infty }([x])=C\circ C\circ C\circ \cdots \circ C([x])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ca8dc86f7603d7e922d3251f58d27a0c38d69e)
Wykonawcy budowlani
Istnieją różne sposoby budowania kontrahentów powiązanych z równaniami i nierównościami, powiedzmy f ( x ) w [ y ]. Większość z nich opiera się na arytmetyce przedziałowej. Jednym z najbardziej wydajnych i najprostszych jest kontrahenci do przodu/do tyłu (zwany także HC4-revise).
Zasadą jest oszacowanie f ( x ) za pomocą arytmetyki przedziałowej (jest to krok do przodu). Wynikowy przedział jest przecięty przez [ y ]. Następnie przeprowadzana jest wsteczna ocena f ( x ) w celu skrócenia przedziałów dla x i (jest to krok wstecz). Zilustrujemy teraz tę zasadę na prostym przykładzie.
Rozważmy ograniczenie cdot Możemy oszacować funkcję f ( x ), wprowadzając dwie zmienne pośrednie aib w następujący sposób
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2})\cdot x_{3}\in [1,2].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9e768211f0f30502e623c6c027188221fcfd94)
Dwa poprzednie ograniczenia nazywane są ograniczeniami naprzód . Otrzymujemy ograniczenia wsteczne , biorąc każde ograniczenie do przodu w odwrotnej kolejności i izolując każdą zmienną po prawej stronie. dostajemy
Wynikowy wykonawca do przodu / do tyłu do uzyskuje się przez ocenę ograniczeń w przód iw tył za pomocą analizy przedziałowej .
![{\displaystyle C([x_{1}],[x_{2}],[x_{3}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d48764982762bc51ab55ff505b6c55a982dbcbd)
![{\displaystyle [a]=[x_{1}]+[x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f662c96942aeea2dfec9fb74aa2a662ffd74363)
![{\displaystyle [b]=[a]\cdot [x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30876329ec805b8c8c793cf276125e8adf6f0ac7)
![{\displaystyle [b]=[b]\cap [1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2514d761f3fb5485b5fbeb8a53ced49d92b027)
![{\displaystyle [x_{3}]=[x_{3}]\ \cap \ {\frac {[b]}{[a]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c696769bdd4a4c1e668837de6808b2608a5d124)
![{\displaystyle [a]=[a]\cap {\frac {[b]}{[x_{3}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5764f04bf42a4a83eee33b33b6cadbf31da42e)
![{\displaystyle [x_{1}]=[x_{1}]\ \cap \ \ [a]-[x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5148ba9addf65b9c0c80a94ffcc56942d25b1a88)
![{\displaystyle [x_{2}]=[x_{2}]\ \cap \ \ [a]-[x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438ed5f42b0d69aebeac03c262db042919f8f005)