Konwersja między kwaternionami a kątami Eulera

Obroty przestrzenne w trzech wymiarach można parametryzować za pomocą zarówno kątów Eulera , jak i kwaternionów jednostkowych . W tym artykule wyjaśniono, jak przeprowadzić konwersję między dwiema reprezentacjami. W rzeczywistości to proste użycie „kwaternionów” zostało po raz pierwszy przedstawione przez Eulera jakieś siedemdziesiąt lat wcześniej niż Hamilton , aby rozwiązać problem magicznych kwadratów . Z tego powodu społeczność zajmująca się dynamiką powszechnie określa kwaterniony w tej aplikacji jako „parametry Eulera”.

Definicja

W pozostałej części tego artykułu będzie używana konwencja „pasywnego” kwaternionu JPL . Czwartion jednostkowy można opisać jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {q} = {\ rozpocząć {bmatrix} q_ {0} i q_ {1} i q_ {2 }&q_{3}\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}q_{w}&q_{x}&q_{y}&q_{z}\end{bmatrix}}^{T}}$

${\ Displaystyle | \ mathbf {q} | ^ {2} = q_ {0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=q_{w}^{2}+q_{x}^{ 2}+q_{y}^{2}+q_{z}^{2}=1}$

Możemy powiązać kwaterniony z obrotem wokół osi za pomocą następującego wyrażenia

${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {0} = \ mathbf {q} _ {w} = \ cos (\ alfa / 2)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {1} = \ mathbf {q} _ {x} = \ sin (\ alfa / 2) \ cos (\ beta _ {x})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {2} = \ mathbf {q} _ {y} = \ sin ( \ alfa / 2) \ sałata (\ beta _ {y})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {3} = \ mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cos(\beta _{z})}$

gdzie α to prosty kąt obrotu (wartość w radianach kąta obrotu ) , a cos(β _x ), cos(β _y ) i cos(β _z ) to „ cosinusy kierunku ” kątów między trzema osiami współrzędnych i osi obrotu. (Twierdzenie o rotacji Eulera).

Intuicja

Aby lepiej zrozumieć, jak „ cosinusy kierunkowe ” działają z czwartorzędami:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcr}\mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos({\text{kąt obrotu}}/2)\\\mathbf {q} _{1}=\ mathbf {q} _{x}=\sin({\text{kąt obrotu}}/2)\cos({\text{kąt między osią obrotu a osią x}})\\\mathbf {q} _{ 2}=\mathbf {q} _{y}=\sin({\text{kąt obrotu}}/2)\cos({\text{kąt między osią obrotu a osią y}})\\\mathbf { q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin({\text{kąt obrotu}}/2)\cos({\text{kąt między osią obrotu a osią z}})\ koniec {tablica}}}$

Jeśli osią obrotu jest oś x :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcr} \ mathbf {q} _ {0} = \ mathbf {q} _ {w} = \ cos (\ alfa / 2) \\\ mathbf { q} _{1}=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 1\\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}= \sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\end{tablica}} }$

Jeśli osią obrotu jest oś y :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcr} \ mathbf {q} _ {0} = \ mathbf {q} _ {w} = \ cos (\ alfa / 2) \\\ mathbf { q} _{1}=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}= \sin(\alpha /2)\cdot 1\\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\end{tablica}} }$

Jeśli osią obrotu jest oś z :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcr} \ mathbf {q} _ {0} = \ mathbf {q} _ {w} = \ cos (\ alfa / 2) \\\ mathbf { q} _{1}=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}= \sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 1\end{tablica}} }$

Jeśli osią obrotu jest wektor położony pod kątem 45° ( π / 4 radiany) między osiami x i y :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcr} \ mathbf {q} _ {0} = \ mathbf {q} _ {w} = \ cos (\ alfa / 2) \\ \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 0.707\ldots \\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin(\alpha /2)\cdot 0.707\ldots \\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\end{tablica}}}$

W związku z tym osie x i y „współdzielą” wpływ na nową oś obrotu .

Kąty Taita-Bryana

Kąty Taita-Bryana. sekwencja zy′-x″ (obroty wewnętrzne; N pokrywa się z y' ). Sekwencja obrotu kąta to ψ , θ , φ . Zauważ, że w tym przypadku ψ > 90°, a θ jest kątem ujemnym.

Podobnie dla kątów Eulera używamy kątów Taita Bryana (pod względem dynamiki lotu ):

• Kierunek - : obrót wokół osi Z. ${\ displaystyle \ psi}$
• $obrót$ - : wokół nowej osi Y
• Bank - ${\ displaystyle \ phi}$ : obrót wokół nowej osi X

gdzie oś X jest skierowana do przodu, oś Y w prawo, a oś Z w dół. W powyższym przykładzie konwersji rotacja występuje w nagłówku zamówienia, skoku, banku.

Macierze rotacji

Macierz ortogonalna (post-mnożenie wektora kolumnowego) odpowiadająca obrotowi zgodnie z ruchem wskazówek zegara / lewoskrętnej (patrząc wzdłuż osi dodatniej do początku) o jednostkę kwaternionu ${\ Displaystyle q=q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}}$ jest określone przez niejednorodne wyrażenie :

${\ Displaystyle R = {\ rozpocząć {bmatrix} 1-2 (q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2}) i 2 (q_ {1} q_ {2} - q_{0}q_{3})&2(q_{0}q_{2}+q_{1}q_{3})\\2(q_{1}q_{2}+q_{0}q_{3} )&1-2(q_{1}^{2}+q_{3}^{2})&2(q_{2}q_{3}-q_{0}q_{1})\\2(q_{1 }q_{3}-q_{0}q_{2})&2(q_{0}q_{1}+q_{2}q_{3})&1-2(q_{1}^{2}+q_{ 2}^{2})\end{bmacierz}}}$

lub równoważnie przez jednorodne wyrażenie:

${\ Displaystyle R = {\ {zaczynać bmatrix} q_ {0} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} -q_ {2} ^ {2} - q_{3}^{2}&2(q_{1}q_{2}-q_{0}q_{3})&2(q_{0}q_{2}+q_{1}q_{3})\\ 2(q_{1}q_{2}+q_{0}q_{3})&q_{0}^{2}-q_{1}^{2}+q_{2}^{2}-q_{3 }^{2}&2(q_{2}q_{3}-q_{0}q_{1})\\2(q_{1}q_{3}-q_{0}q_{2})&2(q_ {0}q_{1}+q_{2}q_{3})&q_{0}^{2}-q_{1}^{2}-q_{2}^{2}+q_{3}^{ 2}\end{bmacierz}}}$

Jeśli ${\ Displaystyle q_ {0} + iq_ {1} + jq_ {2} + kq_ {3}}$ nie jest kwaternionem jednostkowym, to forma jednorodna jest nadal skalarem wielokrotność macierzy rotacji, podczas gdy postać niejednorodna na ogół nie jest już macierzą ortogonalną. Dlatego w pracach numerycznych preferowana jest forma jednorodna, aby uniknąć zniekształceń.

Kierunkowa macierz cosinusowa (od obróconych współrzędnych XYZ Ciała do oryginalnych współrzędnych Lab xyz dla obrotu w prawo/w lewo) odpowiadająca sekwencji Ciała 3-2-1 po pomnożeniu z kątami Eulera (ψ, θ, φ) jest dana wzorem :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ rozpocząć {bmatrix} x \\ y\\z\\\end{bmatrix}}&=R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ){\begin{bmatrix}X\\Y\\ Z\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\\\end{ bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix }}\\&={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\ sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{ bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}\\\end{wyrównane}}}$

Kąty Eulera dla sekwencji Body 3-1-3 – System xyz (oryginalne ustalone laboratorium) jest pokazany na niebiesko, system XYZ (obrócony końcowy korpus) jest pokazany na czerwono. Linia węzłów, oznaczona jako N i pokazana na zielono, to pośrednia oś X Ciała, wokół której następuje drugi obrót.

Konwersja kątów Eulera (w sekwencji 3-2-1) na kwaterniony

Łącząc reprezentacje kwaternionów obrotów Eulera, otrzymujemy sekwencję Body 3-2-1 , w której samolot najpierw skręca (Body-Z) podczas kołowania na pas startowy, a następnie pochyla się (Body-Y) podczas startu , a na koniec toczy się (Body-X) w powietrzu. Wynikowa orientacja sekwencji Body 3-2-1 (wokół osi pisanej wielką literą na ilustracji kątów Taita-Bryana) jest równoważna orientacji sekwencji lab 1-2-3 (wokół osi pisanej małymi literami), gdzie samolot jest najpierw obrócony (oś lab-x), a następnie obrócony wokół poziomej osi lab-y i ostatecznie obrócony wokół pionowej osi lab-z ( lB = lab2Body ):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {q_ {lB}} & = {\ rozpocząć { bmatrix}\cos(\psi /2)\\0\\0\\\sin(\psi /2)\\\koniec{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\\ 0\\\sin(\theta /2)\\0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\phi /2)\\\sin(\phi /2)\\0\ \0\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos(\phi /2)\cos(\theta /2)\cos(\psi /2)+\sin(\phi /2)\sin(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\sin(\phi /2)\cos(\theta /2)\cos(\psi /2)-\cos(\ phi /2)\sin(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\cos(\phi /2)\sin(\theta /2)\cos(\psi /2)+\sin( \phi /2)\cos(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\cos(\phi /2)\cos(\theta /2)\sin(\psi /2)-\sin (\phi /2)\sin(\theta /2)\cos(\psi /2)\\\end{bmatrix}}\\\end{wyrównane}}}$

Inne sekwencje rotacji wykorzystują inne konwencje.

Kod źródłowy

Poniższy kod w C++ ilustruje powyższą konwersję:

 

        


       

    

         
         
         
         
         
         

     
                
                
                
                

     
 struct  Quaternion  {  podwójne  w  ,  x  ,  y  ,  z  ;  };  Quaternion  ToQuaternion  (  double  roll  ,  double  pitch  ,  double  yaw  )  // roll (x), pitch (Y), yaw (z)  {  // Skróty różnych funkcji kątowych  double  cr  =  cos  (  roll  *  0.5  );  podwójne  sr  =  grzech  (  rzut  *  0,5  );  podwójne  cp  =  cos  (  skok  *  0,5  );  podwójne  sp  =  grzech  (  skok  *  0,5  );  podwójne  cy  =  cos  (  odchylenie  *  0,5  );  podwójny  sy  =  grzech  (  odchylenie  *  0,5  );  kwaternionu  q  ;  q  .  w  =  kr  *  cp  *  cy  +  sr  *  sp  *  sy  ;  q  .  x  =  sr  *  cp  *  cy  -  cr  *  sp  *  sy  ;  q  .  y  =  cr  *  sp  *  cy  +  sr  *  cp  *  sy  ;  q  .  z  =  cr  *  cp  *  sy  -  sr  *  sp  *  cy  ;  zwróć  q  ;  } 

Konwersja kwaternionów na kąty Eulera (w sekwencji 3-2-1).

Istnieje bezpośredni wzór na konwersję z kwaternionu na kąty Eulera w dowolnej z 12 możliwych sekwencji. W pozostałej części tej sekcji zostanie pokazany wzór na sekwencję Ciało 3-2-1 . Jeśli kwaterniony są odpowiednio znormalizowane , kąty Eulera można otrzymać z kwaternionów za pomocą relacji:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć { bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}}{\mbox{arctan}}\left({\dfrac {2(q_{0}q_{1}+ q_{2}q_{3})}{1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})}}\right)\\-\pi /2+2\,{ \mbox{arctan}}{\sqrt {\dfrac {1+2(q_{0}q_{2}-q_{1}q_{3})}{1-2(q_{0}q_{2}- q_{1}q_{3})}}}\\{\mbox{arctan}}\left({\dfrac {2(q_{0}q_{3}+q_{1}q_{2})}{ 1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2})}}\right)\end{bmacierz}}}$

Jednak funkcje arctan zaimplementowane w językach komputerowych dają wyniki tylko między −π/2 a π/2 , aby wygenerować wszystkie orientacje potrzebne do zastąpienia funkcji arctan w kodzie komputerowym przez atan2 :

${\ displaystyle {\begin{bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}}{\mbox{atan2}}\left(2(q_{0}q_{1} +q_{2}q_{3}),1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})\right)\\-\pi /2+2\,{\mbox {atan2}}\left({\sqrt {1+2(q_{0}q_{2}-q_{1}q_{3})}},{\sqrt {1-2(q_{0}q_{ 2}-q_{1}q_{3})}}\right)\\{\mbox{atan2}}\left(2(q_{0}q_{3}+q_{1}q_{2}), 1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2})\prawo)\end{bmacierz}}}$

Co więcej, typowe implementacje arctan mogą również mieć pewne wady liczbowe w pobliżu zera i jeden. Niektóre implementacje używają równoważnego wyrażenia:

${\ Displaystyle \ teta = {\ mbox {arcsin}} (2 (q_ {0} q_ {2} -q_ {1} q_ {3}) )}$

Kod źródłowy

Poniższy program C++ ilustruje powyższą konwersję:

 

  
        


  
       




   
     

    
               
                 
       

    
                 
                 
             

    
               
                 
       

     
 #define _USE_MATH_DEFINES  #include  <cmath>  struct  Quaternion  {  double  w  ,  x  ,  y  ,  z  ;  };  struct  EulerAngles  {  podwójny  obrót  ,  skok  ,  odchylenie  ;  };  // ta implementacja zakłada znormalizowany quaternion  // konwertuje na kąty Eulera w sekwencji 3-2-1  EulerAngles  ToEulerAngles  (  Quaternion  q  )  {  EulerAngles  kąty  ;  // roll (obrót w osi x)  double  sinr_cosp  =  2  *  (  q  .  w  *  q  .  x  +  q  .  y  *  q  .  z  );  podwójne  cosr_cosp  =  1  -  2  *  (  q  .  x  *  q  .  x  +  q  .  y  *  q  .  y  );  kąty  .  roll  =  std  ::  atan2  (  sinr_cosp  ,  cosr_cosp  );  // skok (obrót w osi y)  double  sinp  =  std  ::  sqrt  (  1  +  2  *  (  q  .  w  *  q  .  y  -  q  .  x  *  q  .  z  ));  double  cosp  =  std  ::  sqrt  (  1  -  2  *  (  q  .  w  *  q  .  y  -  q  .  x  *  q  .  z  ));  kąty  .  skok  =  2  *  std  ::  atan2  (  sinp  ,  cosp  )  -  M_PI  /  2  ;  // yaw (obrót w osi Z)  double  siny_cosp  =  2  *  (  q  .  w  *  q  .  z  +  q  .  x  *  q  .  y  );  podwójne  cosy_cosp  =  1  -  2  *  (  q  .  y  *  q  .  y  +  q  .  z  *  q  .  z  );  kąty  .  odchylenie  =  std  ::  atan2  (  siny_cosp  ,  cosy_cosp  );  kąty  powrotu  ;  } 

Osobliwości

Należy zdawać sobie sprawę z osobliwości w parametryzacji kąta Eulera, gdy nachylenie zbliża się do ±90° (biegun północny/południowy). Te przypadki muszą być traktowane specjalnie. Popularna nazwa tej sytuacji to gimbal lock .

Kod do obsługi osobliwości pochodzi z tej strony: www.euclideanspace.com

Obrót wektora

Zdefiniujmy skalarny $q → {$ wektor taki, że $\ vec {q}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {0}, {\ vec {q}}) = q_ {0} + iq_ {1} + jq_ {2} + kq_ {3}}$ .

$,$ że kanoniczny sposób obracania trójwymiarowego wektora przez kwaternion definiujący Eulera odbywa się za pomocą wzoru ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {p} ^ {\ \ pierwsza} = \ mathbf {qpq} ^ {\ ast}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = (0, {\ vec {v}}) = 0 + iv_ {1} + jv_ {2} + kv_ {3}}$ jest kwaternionem zawierającym osadzony wektor ${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {q} ^ { \ast} = (q_ {0}, - {\ vec {q}})}$ jest kwaternionem sprzężonym i ${\ Displaystyle \ mathbf {p} ^ {\, \ liczba pierwsza} = (0, {\ vec {v}} ^ {\, \ liczba pierwsza})}$ jest obróconym wektorem ${\ Displaystyle {\ vec {v}} ^ {\, \ liczba pierwsza}}$ . W implementacjach obliczeniowych wymaga to mnożenia dwóch kwaternionów. Alternatywnym podejściem jest zastosowanie pary relacji

${\ Displaystyle {\ vec {t}} = 2 {\ vec {q}} \ razy {\ vec {v}}}$

${\ Displaystyle {\ vec {v}} ^ {\ \ pierwsza} = {\ vec {v}} + q_ {0} {\ vec {t}} + {\ vec {q}} \ razy {\vec {t}}}$

gdzie oznacza $.$ wektorowy iloczyn krzyżowy Wymaga to mniejszej liczby mnożeń i dlatego jest szybsze obliczeniowo. Testy numeryczne wskazują, że to drugie podejście może być nawet o 30% szybsze niż oryginał w przypadku rotacji wektorów.

Dowód

Ogólna zasada mnożenia kwaternionów obejmująca części skalarne i wektorowe jest podana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {q_ {1} q_ {2}} & = (r_ {1}, {\ vec {v}} _ {1}) (r_ { 2},{\vec {v}}_{2})\\&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_ {2},r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\razy { \vec {v}}_{2})\\\end{wyrównane}}}$

Korzystając z tej relacji, można stwierdzić, że p $\ Displaystyle \ mathbf {p} = (0, {\ vec {v}})}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {pq ^ {\ ast }} &=(0,{\vec {v}})(q_{0},-{\vec {q}})\\&=({\vec {v}}\cdot {\vec {q }},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\\end{wyrównane}}}$

i po podstawieniu na iloczyn potrójny

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {qpq ^ {\ ast}} & = (q_ {0}, {\ vec {q}})({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q }})\\&=(0,q_{0}^{2}{\vec {v}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+({\ vec {v}}\cdot {\vec {q}}){\vec {q}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+{\vec {q} }\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{wyrównane}}}$

gdzie antyprzemienność iloczynu krzyżowego i ${\ Displaystyle {\ vec {q}} \ cdot {\ vec {v}} \ razy {\ vec {q}} = 0}$ stosowany. Następnie wykorzystując właściwość, że ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ jest kwaternionem jednostkowym , tak że ${\ Displaystyle q_ {0} ^ {2} = 1- {\ vec { q}}\cdot {\vec {q}}}$ wraz ze standardową tożsamością wektora

${\ Displaystyle {\ vec {q}} \ razy ({\ vec {q}} \times {\vec {v}})=({\vec {q}}\cdot {\vec {v}}){\vec {q}}-({\vec {q}}\cdot {\vec {q}}){\vec {v}}}$

jeden uzyskuje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {p} ^ {\ liczba pierwsza }&=\mathbf {qpq^{\ast}} =(0,{\vec {v}}+2q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+2{\ vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{wyrównane}}}$

$}}}$ v można zapisać w kategoriach skalarnych i wektorowych części jak

${\ Displaystyle (0, {\ vec {v}} ^ {\, \ pierwsza}) = (0, {\ vec {v}} + q_ {0} {\ vec {t}} + {\ vec {q }}\razy {\vec {t}}).}$

Zobacz też

• Operator obrotu (przestrzeń wektorowa)
• Kwaterniony i rotacja przestrzenna
• Kąty Eulera
• Macierz rotacji
• Formalizmy rotacyjne w trzech wymiarach

Linki zewnętrzne

• Q60. Jak przekonwertować kąty obrotu Eulera na kwaterniony? i powiązane pytania w The Matrix and Quaternions FAQ