Krzywa oscylacyjna
W geometrii różniczkowej krzywa oscylacyjna jest płaską krzywą z danej rodziny, która ma najwyższy możliwy rząd kontaktu z inną krzywą. To znaczy, jeśli F jest rodziną krzywych gładkich , C jest krzywą gładką (ogólnie nie należącą do F ), a p jest punktem na C , to oscylująca krzywa z F w p jest krzywą z F przechodzącą przez P i ma jak najwięcej pochodnych przy p równych pochodnym C.
Termin wywodzi się od łacińskiego rdzenia „oscylować”, całować się , ponieważ dwie krzywe stykają się ze sobą w bardziej intymny sposób niż zwykła styczność.
Przykłady
Przykłady krzywych oscylacyjnych różnych rzędów obejmują:
- Linia styczna do krzywej C w punkcie p , krzywa oscylacyjna z rodziny prostych . Linia styczna dzieli swoją pierwszą pochodną ( nachylenie ) z C , a zatem ma kontakt pierwszego rzędu z C.
- Okrąg oscylacyjny do C w p , krzywa oscylacyjna z rodziny okręgów . Koło oscylacyjne dzieli zarówno swoją pierwszą, jak i drugą pochodną (równoważnie, jego nachylenie i krzywiznę ) z C .
- Oscylująca parabola do C w p , oscylująca krzywa z rodziny paraboli , ma kontakt trzeciego rzędu z C .
- Stożek oscylacyjny do C w p , krzywa oscylacyjna z rodziny przekrojów stożkowych , ma kontakt czwartego rzędu z C .
Uogólnienia
Koncepcję oscylacji można uogólnić na przestrzenie o wyższych wymiarach i na obiekty, które nie są krzywymi w tych przestrzeniach. Na przykład płaszczyzna oscylująca do krzywej przestrzennej to płaszczyzna, która ma kontakt drugiego rzędu z krzywą. Jest to najwyższy rząd, jaki jest możliwy w ogólnym przypadku.
Mówi się, że w jednym wymiarze krzywe analityczne oscylują w punkcie, jeśli mają wspólne trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Taylora wokół tego punktu. Koncepcję tę można uogólnić na superokulację, w której dwie krzywe mają więcej niż pierwsze trzy wyrazy ich rozwinięcia Taylora.