Lemat Krasnera

W teorii liczb , a dokładniej w analizie p -adycznej , lemat Krasnera jest podstawowym wynikiem wiążącym topologię kompletnego ciała niearchimedesowego z jego algebraicznymi rozszerzeniami .

Oświadczenie

Niech K będzie zupełnym ciałem niearchimedesowym i niech K będzie rozdzielnym domknięciem K . Mając element α w K , oznaczmy jego koniugaty Galois przez α ₂ , ..., α _n . Lemat Krasnera stwierdza:

jeśli element β z K jest taki, że

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - \ beta \ prawo | <\ lewo | \ alfa - \ alfa _ {i} \ prawo | {\ tekst {dla}} i = 2, \ kropki ,n}$

następnie K ( α ) ⊆ K ( β ).

Aplikacje

• Lemat Krasnera może być użyty do pokazania, że $​​-adic$ i rozdzielne domknięcie globalnych pól dojeżdżają do pracy. Innymi słowy, biorąc pod uwagę $równe$ pierwszą pola globalnego ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathfrak {p}}}}$ , rozdzielne zamknięcie L jest p $mathfrak {p}}}$ \ -adic zakończenie rozdzielnego zamknięcia L (gdzie jest liczbą pierwszą L powyżej ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathfrak$${p} }}$ }
• Innym zastosowaniem jest udowodnienie, że C _p — zakończenie algebraicznego domknięcia Q _p — jest algebraicznie domknięte .

Uogólnienie

Lemat Krasnera ma następujące uogólnienie. Rozważ wielomian moniczny

${\ Displaystyle f ^ {*} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (X- \ alfa _ {k} ^ {*}) }$

stopnia n > 1 ze współczynnikami w ciele henselowskim ( K , v ) i pierwiastkami w domknięciu algebraicznym K . Niech I i J będą dwoma rozłącznymi, niepustymi zbiorami ze sumą {1,..., n }. Ponadto rozważ wielomian

${\ Displaystyle g = \ prod _ {i \ in I} (X- \ alfa _ {i})}$

ze współczynnikami i pierwiastkami w K . Przypuszczać

${\ Displaystyle \ forall i \ in I \ forall j \ in J: v (\ alfa _ {i} - \ alfa _ {i} ^ {*})> v (\ alfa _ {i} ^ {*} - \alpha _{j}^{*}).}$

Następnie współczynniki wielomianów

${\ Displaystyle g ^ {*}: = \ prod _ {i \ w ja} (X-\alpha _{i}^{*}),\ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})}$

zawarte są w rozszerzeniu pola K generowanego przez współczynniki g . (Oryginalny lemat Krasnera odpowiada sytuacji, w której g ma stopień 1.)

Notatki

•    Brzeg, David (2006). „Nowe światło na Lemma Hensela” . Expositiones Mathematicae . 24 (4): 291–306. doi : 10.1016/j.exmath.2006.01.002 . ISSN 0723-0869 . Zbl 1142.12304 .
•    Lorenz, Falko (2008). Algebra. Tom II: Pola ze strukturą, algebrami i tematami zaawansowanymi . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-72487-4 . Zbl 1130.12001 .
•    Narkiewicz, Władysław (2004). Elementarna i analityczna teoria liczb algebraicznych . Monografie Springera z matematyki (wyd. 3). Berlin: Springer-Verlag . P. 206. ISBN 3-540-21902-1 . Zbl 1159.11039 .
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2008), Kohomologia pól liczbowych , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , tom. 323 (wydanie drugie), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-37888-4 , MR 2392026 , Zbl 1136.11001