Liczenie ograniczeń

W matematyce liczenie ograniczeń to zliczanie ograniczeń w celu porównania ich z liczbą zmiennych , parametrów itp. , które można dowolnie określić, przy czym w większości przypadków liczba niezależnych wyborów, których można dokonać, wynosi przewaga tego drugiego nad pierwszym.

Na przykład w algebrze liniowej , jeśli liczba ograniczeń (niezależnych równań) w układzie równań liniowych jest równa liczbie niewiadomych, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie; jeśli jest mniej niezależnych równań niż niewiadomych, istnieje nieskończona liczba rozwiązań; a jeśli liczba niezależnych równań przekracza liczbę niewiadomych, to rozwiązania nie istnieją.

W kontekście równań różniczkowych cząstkowych liczenie z ograniczeniami jest prymitywnym, ale często użytecznym sposobem liczenia liczby wolnych funkcji potrzebnych do określenia rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego .

Równania różniczkowe cząstkowe

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu w trzech zmiennych, takie jak dwuwymiarowe równanie falowe

${\ displaystyle u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}.}$

$przepisywania,$ się myśleć o takim równaniu jako o która cząstkowe funkcji częściowych niż potrzebne do dowolnej funkcji. Na przykład, jeśli $falowe$ , możemy przepisać

${\ Displaystyle u_ {tyt} = u_ {tty} = u_ {xxy} + u_ {yyy}}$

gdzie w pierwszej równości odwołaliśmy się do faktu, że pochodne cząstkowe komutują .

Równania liniowe

Aby odpowiedzieć na to pytanie w ważnym szczególnym przypadku liniowego równania różniczkowego cząstkowego, Einstein zapytał: ile pochodnych cząstkowych rozwiązania może być liniowo niezależnych ? Wygodnie jest zapisać jego odpowiedź za pomocą zwykłej funkcji generującej

${\ Displaystyle s (\ xi) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} s_ {k} \ xi ^ {k}}$

gdzie $w$ przestrzeni rozwiązań danego równania.

Ilekroć funkcja spełnia jakieś równanie różniczkowe cząstkowe, możemy użyć odpowiedniej reguły przepisywania, aby wyeliminować niektóre z nich, ponieważ dalsze mieszane częściowe z konieczności stały się liniowo zależne . W szczególności szereg potęgowy liczący różne dowolne funkcje trzech zmiennych (bez ograniczeń) to

${\ Displaystyle f (\ xi) = {\ Frac {1} {(1-\ xi) ^ {3}}}=1+3\xi +6\xi ^{2}+10\xi ^{3}+\kropki }$

ale szeregi potęgowe liczące te w przestrzeni rozwiązań jakiegoś pde drugiego rzędu są

${\ Displaystyle g (\ xi) = {\ Frac {1-\ xi ^ {2 }}{(1-\xi )^{3}}}=1+2\xi +5\xi ^{2}+7\xi ^{3}+\kropki }$

$, \, u_{ttx},\,u_{tty}}$ możemy wyeliminować jeden częściowy drugiego rzędu , trzy częściowe trzeciego rzędu ${$ i tak dalej.

Mówiąc bardziej ogólnie, ogf dla dowolnej funkcji n zmiennych wynosi

${\ Displaystyle s [n] (\ xi) =1/(1-\xi )^{n}=1+n\,\xi +\left({\begin{macierz}n\\2\end{macierz}}\right)\,\xi ^{ 2}+\lewo({\początek{macierzy}n+1\\3\koniec{macierzy}}\prawo)\,\xi ^{3}+\kropki }$

gdzie współczynniki nieskończonego szeregu potęgowego funkcji generującej są konstruowane przy użyciu odpowiedniego nieskończonego ciągu współczynników dwumianowych , a szereg potęgowy funkcji wymaganej do spełnienia równania liniowego m-tego rzędu to

${\ Displaystyle g (\ xi) = {\ Frac {1- \ xi ^ {m}} {(1- \ xi) ^ {n}}} }$

Następny,

${\ Displaystyle {\ Frac {1- \ xi ^ {2}} {(1- \ xi) ^ {3}}} = {\frac {1+\xi}} {(1-\xi)^{2}}}}$

co można zinterpretować jako przewidywanie, że rozwiązanie liniowego pde drugiego rzędu w trzech zmiennych jest wyrażone przez dwie dowolnie wybrane funkcje dwóch zmiennych, z których jedna jest używana natychmiast, a druga dopiero po wzięciu pierwszej pochodnej w celu wyrazić rozwiązanie.

Ogólne rozwiązanie problemu wartości początkowej

Aby zweryfikować to przewidywanie, przypomnij sobie rozwiązanie problemu z wartością początkową

${\ Displaystyle u_ {tt} = u_{xx}+u_{yy},\;u(0,x,y)=p(x,y),\;u_{t}(0,x,y)=q(x,y)}$

Zastosowanie transformaty Laplace'a daje ${\ Displaystyle u (t, x, y) \ mapsto [Lu] (\ omega, x, y)}$

${\ Displaystyle - \ omega ^ {2} \, [Lu] + \omega \,p(x,y)+q(x,y)+[Lu]_{x}+[Lu]_{y}}$

$,m,n)}$ ↦ ${\ Displaystyle [Lu] (\ omega, x, y) \ mapsto [FLU] ($ \ do dwóch zmiennych przestrzennych daje

${\ Displaystyle - \ omega ^ {2} \, [FLu] + \ omega \,[Fp]+[Fq]-(m^{2}+n^{2})\,[FLu]}$

Lub

${\ Displaystyle [FLu] (\ omega ,m,n)={\frac {\omega \,[Fp](m,n)+[Fq](m,n)}{\omega ^{2}+m^{2}+n^{2 }}}}$

Zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a daje

${\ Displaystyle [Fu] (t, m, n) = [Fp] (m, n) \, \ cos ({\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}} \,t)+{\frac {[Fq](m,n)\,\sin({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)}{\sqrt {m^ {2}+n^{2}}}}}$

Zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera daje

${\ Displaystyle u (t, x, y) = Q (t, x, y) + P_ { t}(t,x,y)}$

Gdzie

${\ Displaystyle P (t, x, y) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \, \ int _ {(xx ')^{2}+(yy')^{2}<t^{2}}{\frac {p(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2} -(xx')^{2}-(yy')^{2}\right]^{1/2}}}}$

${\ styl wyświetlania Q(t,x,y)={\frac {1}{2\pi}}\,\int _{(xx')^{2}+(yy')^{2}<t^{2 }}{\frac {q(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(xx')^{2}-(yy')^{2}\right ]^{1/2}}}}$

Tutaj p, q są dowolnymi (wystarczająco gładkimi) funkcjami dwóch zmiennych, więc (ze względu na ich skromną zależność od czasu) całki P, Q również liczą się jako „dowolnie wybrane” funkcje dwóch zmiennych; zgodnie z obietnicą jeden z nich różniczkowy jest raz przed dodaniem do drugiego w celu wyrażenia ogólnego rozwiązania problemu wartości początkowej dla dwuwymiarowego równania falowego.

Równania quasiliniowe

W przypadku równania nieliniowego bardzo rzadko możliwe będzie uzyskanie rozwiązania ogólnego w postaci zamkniętej. Jeśli jednak równanie jest quasiliniowe (liniowe w pochodnych najwyższego rzędu), to nadal możemy uzyskać przybliżone informacje podobne do powyższych: określenie elementu przestrzeni rozwiązań będzie „nieliniowymi sprzecznościami modulo” równoważnymi określeniu pewnej liczby funkcji w mniejszej liczbie zmiennych. Liczba tych funkcji to siła Einsteina pde W powyższym prostym przykładzie siła wynosi dwa, chociaż w tym przypadku udało nam się uzyskać dokładniejsze informacje.

•   Siklos, STC (1996). „Liczenie rozwiązań równania Einsteina”. Klasa. Grawitacja kwantowa . 13 (7): 1931–1948. Bibcode : 1996CQGra..13.1931S . doi : 10.1088/0264-9381/13/7/021 . S2CID 250815723 . Zastosowanie liczenia ograniczeń w geometrii Riemanna iw ogólnej teorii względności.