Lokalnie cykliczna grupa

W matematyce grupa lokalnie cykliczna to grupa ( G , *), w której każda skończenie generowana podgrupa jest cykliczna .

Kilka faktów

Każda grupa cykliczna jest lokalnie cykliczna, a każda grupa lokalnie cykliczna jest abelowa .
Każda skończenie generowana lokalnie cykliczna grupa jest cykliczna.
Każda podgrupa i grupa ilorazowa grupy lokalnie cyklicznej jest lokalnie cykliczna.
Każdy homomorficzny obraz grupy lokalnie cyklicznej jest lokalnie cykliczny.
Grupa jest lokalnie cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy każda para elementów w grupie generuje grupę cykliczną.
Grupa jest lokalnie cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej sieć podgrup jest rozdzielna ( Ore 1938 ).
Wolny od skrętu rząd grupy lokalnie cyklicznej wynosi 0 lub 1.
Pierścień endomorfizmu grupy lokalnie cyklicznej jest przemienny . ^{[ potrzebne źródło ]}

Grupa addytywna liczb wymiernych ( Q , +) jest lokalnie cykliczna – dowolna para liczb wymiernych a / b i c / d zawiera się w podgrupie cyklicznej generowanej przez 1/( bd ).
Grupa addytywna diadycznych liczb wymiernych , liczb wymiernych postaci a /2 ^b , jest również lokalnie cykliczna – dowolna para diadycznych liczb wymiernych a /2 ^b i c /2 ^d jest zawarta w podgrupie cyklicznej generowanej przez 1/ 2 ^{maks( b , re )} .
Niech p będzie dowolną liczbą pierwszą i niech μ _{p ^∞} oznacza zbiór wszystkich p -potęgowych pierwiastków jedności w C , tj.
${ \ Displaystyle \ mu _ {p ^ {\ infty}} = \ lewo \ {\ exp \ lewo ({\ frac {2 \ pi im} {p ^ {k}}} \ prawo): m, k \ w \ mathbb {Z} \right\}}$
Następnie μ _{p ^∞} jest lokalnie cykliczne, ale nie cykliczne. To jest grupa p Prüfera . Grupa Prüfer 2 jest blisko spokrewniona z wymiernymi diadami (można ją postrzegać jako wymierne diady modulo 1).

Addytywna grupa liczb rzeczywistych ( R , +); podgrupa generowana przez 1 i $π$ (zawierająca wszystkie liczby postaci a + b $π$ ) jest izomorficzna z sumą bezpośrednią Z + Z , która nie jest cykliczna.

Hall, Marshall, Jr. (1999), „19.2 Lokalnie cykliczne grupy i kraty dystrybucyjne”, Theory of Groups , American Mathematical Society, s. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8 .

Rose, John S. (2012) [pełna i niezmieniona ponowna publikacja pracy opublikowanej po raz pierwszy przez Cambridge University Press, Cambridge, Anglia, w 1978 r.]. Kurs teorii grup . Publikacje Dover. ISBN 978-0-486-68194-8 .