Marzenie drugiego roku

W matematyce marzeniem drugiego roku jest para tożsamości (zwłaszcza pierwsza)

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} \, dx & = \ suma _ {n =1}^{\infty}n^{-n}\\\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx & = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1)^{n+1}n^{-n}=-\suma _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{wyrównane}}}$

odkryta w 1697 roku przez Johanna Bernoulliego .

Wartości liczbowe tych stałych wynoszą odpowiednio około 1,291285997… i 0,7834305107….

Nazwa „sen drugiego roku” kontrastuje z nazwą „ sen pierwszego roku ”, która jest nadawana błędnej tożsamości ( x + y ) ⁿ = x ⁿ + y ⁿ . Sen studenta drugiego roku ma podobne wrażenie zbyt pięknego, aby mogło być prawdziwe, ale jest prawdziwe.

Dowód

Wykres funkcji y = x ^x (czerwony, dolny) i y = x ^{- x} (szary, górny) na przedziale x ∈ (0, 1).

Dowody obu tożsamości są całkowicie analogiczne, więc tutaj przedstawiono tylko dowód drugiej tożsamości. Kluczowymi składnikami dowodu są:

• napisać x ^x = exp( x log x ) (używając notacji log dla logarytmu naturalnego i exp dla funkcji wykładniczej ;
• rozwiń exp( x log x ) używając potęgowego szeregu dla exp; I
• całkować terminowo, używając całkowania przez podstawienie .

W szczegółach, rozwija się x ^x jako

${\ Displaystyle x ^ {x} = \ exp (x \ log x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {N!}}.}$

Dlatego ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}$

Dzięki jednolitej zbieżności szeregów potęgowych można zamienić sumowanie i całkowanie, aby uzyskać wydajność

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}$

Aby obliczyć powyższe całki, można zmienić zmienną w całce przez podstawienie ${\ Displaystyle x = \ exp \ lewo (- {\ Frac {u} {n + 1}} \ prawo).}$ Dzięki temu podstawieniu granice integracji są przekształcane do ${\ displaystyle 0 <u <\infty ,}$ podając tożsamość

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (\ log x) ^ {n} \, dx = (-1) ^ {n} (n + 1) ^ {- (n + 1)}\int _{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}\,du.}$

Z integralnej tożsamości Eulera dla funkcji Gamma , jeden ma

$\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {n} e ^ {-u} \, du = n !,}$

aby

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx = (-1) ^ {n} ( n+1)^{-(n+1)}.}$

Zsumowanie ich (i zmiana indeksowania tak, aby zaczynało się od n = 1 zamiast n = 0) daje wzór.

Dowód historyczny

Oryginalny dowód, podany u Bernoulliego i przedstawiony w zmodernizowanej formie w Dunham, różni się od powyższego tym, w jaki sposób całka termiczna ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1 }x^{n}(\log x)^{n}\,dx}$ jest obliczane, ale poza tym jest takie samo, pomijając szczegóły techniczne w celu uzasadnienia kroków (takich jak integracja termwise). Zamiast całkować przez podstawienie, uzyskując funkcję Gamma (która nie była jeszcze znana), Bernoulli użył całkowania przez części , aby iteracyjnie obliczyć te wyrazy.

Całkowanie przez części przebiega w następujący sposób, niezależnie zmieniając dwa wykładniki, aby uzyskać rekurencję. Całka nieoznaczona jest obliczana początkowo, pomijając stałą całkowania, zarówno dlatego, że robiono to historycznie $,$ wypada podczas obliczania całki oznaczonej. Można całkować ${\ Displaystyle \ int x ^ {m} (\ log x) ^ {n} \, dx}$ biorąc u = (log x ) ⁿ i dv = x ^m dx , co daje:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int x ^ {m} (\ log x) ^ {n} \, dx & = {\ Frac {x ^ {m + 1} (\ log x) ^ {n}} {m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\log x)^{n-1}}{x}}\, dx\qquad {\text{(dla }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\log x) ^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\log x)^{n-1}\,dx\qquad {\text{(dla }}m\ neq -1{\text{)}}\end{wyrównane}}}$

(również na liście całek funkcji logarytmicznych ). Zmniejsza to moc logarytmu w całce o 1 (od n $\$$displaystyle n-1}$ ), a zatem można obliczyć całkę indukcyjnie , jak n {

${\ Displaystyle \ int x ^ {m} (\ log x) ^ {n} \, dx = {\ Frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \ cdot \ suma _ {i = 0 }^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\log x)^{ni}}$

gdzie ( n )   _i oznacza silnię opadającą ; istnieje skończona suma, ponieważ indukcja zatrzymuje się na 0, ponieważ n jest liczbą całkowitą.

W tym przypadku m = n i są to liczby całkowite, więc

${\ Displaystyle \ int x ^ {n} (\ log x) ^ {n} \, dx = {\ Frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} \ cdot \ suma _ {i = 0 }^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\log x)^{ni}.}$

Całkując od 0 do 1, wszystkie wyrazy znikają z wyjątkiem ostatniego wyrazu o wartości 1, co daje:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx = {\ frac {1} {n! }}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n} }}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$

Jest to równoważne obliczeniu integralnej tożsamości Eulera ${\ Displaystyle \ Gamma (n + 1) = n!}$ dla funkcji Gamma w innej dziedzinie (odpowiadającej zmianie zmiennych przez podstawienie), ponieważ samą tożsamość Eulera można również obliczyć poprzez analogiczne całkowanie przez części.

Zobacz też

• Serie (matematyka)

Notatki

Formuła

• Bernoulli, Johann (1697). Operowa omnia . Tom. 3. s. 376–381.
•   Borwein, Jonathan ; Bailey, David H .; Girgensohn, Roland (2004). Eksperymenty z matematyki: obliczeniowe ścieżki do odkrycia . s. 4, 44. ISBN 9781568811369 .
•   Dunham, William (2005). „Rozdział 3: Bernoullich (Johann i ${\ displaystyle x ^ {x}}$ )”. Galeria rachunku różniczkowego, arcydzieła od Newtona do Lebesgue'a . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. s. 46–51. ISBN 9780691095653 .
• OEIS (sekwencja A083648 w OEIS ) i (sekwencja A073009 w OEIS )
•   Polia, George ; Szegő, Gábor (1998), „Część I, problem 160”, Problemy i twierdzenia w analizie , s. 36 , numer ISBN 9783540636403
• Weisstein, Eric W. „Sen drugiego roku” . MathWorld .
• Max RP Grossmann (2017): Sen drugiego roku. 1 000 000 cyfr pierwszej stałej

Funkcjonować

• Literatura dla x^x i Sophomore's Dream , Tetration Forum, 02.03.2010
• Sprzężony wykładniczy , Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
• Funkcja snu drugiego roku , Jean Jacquelin, 2010, 13 s.
• Lehmer, DH (1985). „Liczby związane z liczbami Stirlinga i x ^x ” . Rocky Mountain Journal of Mathematics . 15 (2): 461. doi : 10.1216/RMJ-1985-15-2-461 .
• Gould, HW (1996). „Zbiór wielomianów powiązanych z wyższymi pochodnymi y = x ^x ” . Rocky Mountain Journal of Mathematics . 26 (2): 615. doi : 10.1216/rmjm/1181072076 .

przypisy