Marzenie pierwszoklasisty

Ilustracja snu pierwszoroczniaka w dwóch wymiarach. Każdy bok kwadratu ma długość X+Y. Pole kwadratu jest sumą pól obszaru żółtego (=X ² ), pola obszaru zielonego (=Y ² ) i pola dwóch obszarów białych (=2×X×Y).

Sen pierwszego roku to nazwa czasami nadawana błędnemu równaniu ${\ Displaystyle (x + y) ^ {n} = x ^ {n} + y ^ {n}}$ , gdzie jest $liczbą$ $niezerowymi$ liczbą całkowitą większą niż 1) i liczbami rzeczywistymi Początkujący uczniowie często popełniają ten błąd przy obliczaniu mocy sumy liczb rzeczywistych, fałszywie zakładając, że potęga rozkłada się na sumy. Kiedy n = 2, łatwo zrozumieć, dlaczego jest to niepoprawne: ( x + y ) ² można poprawnie obliczyć jako x ² + 2 xy + y ² przy użyciu rozdzielności (powszechnie znanej uczniom jako metoda FOIL ). W przypadku większych dodatnich wartości całkowitych n , poprawny wynik daje twierdzenie dwumianowe .

Nazwa „sen pierwszoroczniaka” czasami odnosi się również do twierdzenia, które mówi, że dla liczby pierwszej p , jeśli x i y są członkami pierścienia przemiennego o charakterystyce p , to ( x + y ) ^p = x ^p + y ^p . W tym bardziej egzotycznym typie arytmetyki „błąd” faktycznie daje poprawny wynik, ponieważ p dzieli wszystkie współczynniki dwumianowe oprócz pierwszego i ostatniego, przy czym wszystkie warunki pośrednie są równe zeru.

Tożsamość jest również prawdziwa w kontekście geometrii tropikalnej , gdzie mnożenie jest zastępowane przez dodawanie, a dodawanie przez minimum .

Przykłady

${\ Displaystyle (1 + 4) ^ {2} = 5 ^ {2} = 25}$ , ale ${\ Displaystyle 1 ^ {2} + 4^{2}=17}$ .
${\ Displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ ogólnie nie jest równe ${\ Displaystyle {\ sqrt {x ^ {2}}} + {\ sqrt {y ^ {2}}} = | x | + | y |}$ . Na przykład ${\ Displaystyle {\ sqrt {9 + 16}} = {\ sqrt {25}} = 5}$ , co nie jest równe 3 + 4 = 7 . W tym przykładzie błąd jest popełniany z wykładnikiem n = 1 / 2 .

Główna cecha

$p}$ $)$ jest liczbą pierwszą i ${\ Displaystyle (x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p}}$ r $\ displaystyle$ $}$ są członkami pierścienia przemiennego o charakterystyce , wtedy . Można to zobaczyć, badając czynniki pierwsze współczynników dwumianowych: n Współczynnik dwumianowy to

{\ Displaystyle {\ binom {p} {n}} = {\ Frac {p!} {n! (pn)!}}.}

Licznik jest silnią p , która jest podzielna przez p . Jednak gdy 0 < n < p , oba n ! i ( p - n )! są względnie pierwsze z p, ponieważ wszystkie czynniki są mniejsze od p , a p jest liczbą pierwszą. Ponieważ współczynnik dwumianowy jest zawsze liczbą całkowitą, n- ty współczynnik dwumianowy jest podzielny przez p a więc równy 0 w pierścieniu. Zostajemy ze współczynnikami zero i p , które oba są równe 1, dając pożądane równanie.

Zatem w charakterystyce p sen studenta pierwszego roku jest ważną tożsamością. Wynik ten pokazuje, że potęgowanie przez p daje endomorfizm , znany jako endomorfizm pierścienia Frobeniusa.

Żądanie, aby charakterystyczne p było liczbą pierwszą, jest kluczowe dla spełnienia marzenia pierwszoklasisty. Powiązane twierdzenie mówi, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to ( x + 1) ^p ≡ x ^p + 1 w pierścieniu wielomianowym ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ . Twierdzenie to jest kluczowym faktem we współczesnych testach pierwszości.

Historia i alternatywne nazwy

Historia terminu „sen pierwszego roku” jest nieco niejasna. W artykule z 1940 roku na temat pól modułowych Saunders Mac Lane cytuje uwagę Stephena Kleene'a , że znajomość ( a + b ) ² = a ² + b ² w polu o charakterystyce 2 zepsułaby studentów pierwszego roku algebry . Może to być pierwszy związek między „świeżakiem” a ekspansją dwumianową w polach o charakterystyce dodatniej. Od tego czasu autorzy tekstów z algebry licencjackiej zwracali uwagę na powszechny błąd. Wydaje się, że pierwsze rzeczywiste potwierdzenie wyrażenia „sen pierwszego roku” znajduje się w podręczniku algebry dla absolwentów Hungerforda (1974), w którym cytuje on McBriena. Terminy alternatywne obejmują „ potęgowanie studentów pierwszego roku ”, użyte w Fraleigh (1998). Sam termin „sen pierwszoroczniaka”, w kontekstach niematematycznych, jest zapisywany od XIX wieku.

Ponieważ rozwinięcie ( x + y ) ⁿ jest prawidłowo określone przez twierdzenie o dwumianach , sen pierwszoroczniaka jest również znany jako „ twierdzenie o dwumianach dziecka ” lub „ twierdzenie o dwumianach ucznia ”.

Zobacz też