Masa efektywna (układ sprężyna-masa)

W prawdziwym układzie sprężyna-masa sprężyna ma masę , której nie można pominąć. $\ displaystyle m}$ { . Ponieważ nie cała długość sprężyny porusza się z taką samą prędkością $,$ zawieszona masa $\$ energia kinetyczna nie jest równa $Displaystyle {\ tfrac {1} {2}}mv^{2}}$ . W związku z tym nie można po prostu dodać do w celu określenia częstotliwości oscylacji, a $efektywną$ masę $sprężyny$ definiuje się jako masę, którą należy dodać do $displaystyle M} }$ poprawnie przewidzieć zachowanie systemu.

Idealna jednolita sprężyna

pionowy układ sprężyna-masa

Efektywna masa sprężyny w układzie sprężyna-masa przy użyciu idealnej sprężyny o jednorodnej gęstości liniowej wynosi 1/3 masy sprężyny i jest niezależna od kierunku układu sprężyna-masa (tj. poziomego, pionowego, i ukośne układy mają taką samą efektywną masę). Dzieje się tak, ponieważ przyspieszenie zewnętrzne nie wpływa na okres ruchu wokół punktu równowagi.

Efektywną masę sprężyny można określić, znajdując jej energię kinetyczną. Wymaga to dodania energii kinetycznej wszystkich elementów masowych i następującej całki , gdzie jest prędkością elementu masowego: ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle K = \ int _ {m} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \, dm}$

Ponieważ sprężyna jest jednostajna, gdzie ${\ Displaystyle dm = \ lewo ({\ Frac {dy} {L}} \ prawej) m}$$,$ gdzie jest sprężynę w momencie pomiaru prędkości. Stąd,

${\ Displaystyle K = \ int _ {0} ^ {L} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \ lewo ({\ Frac {dy} {L}} \ prawej) m \!}$

${\ Displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ Frac {m} {L}} \ int _{0}^{L}u^{2}\,dy}$

Prędkość każdego elementu masowego sprężyny jest wprost proporcjonalna do długości od miejsca, w którym jest zamocowana (jeśli blisko bloku, to większa prędkość, a jeśli blisko sufitu, to mniejsza prędkość), tj. u = $Displaystyle u={\frac {vy}{L}}}$ , z czego wynika:

${\ Displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} {\ Frac {m} {L}} \ int _ {0} ^ {L } \ lewo ({\ Frac {vy} {L}} \ prawej) ^ {2} \, dy}$

${\ Displaystyle = {\ tfrac {1} 2}}{\frac {m}{L^{3}}}v^{2}\int _{0}^{L}y^{2}\,dy}$

${\ Displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ Frac {m} {L ^ {3}}} v ^ {2} \ lewo [{\ Frac {y ^ {3} {3}} \ prawej] _ {0} ^ {L}}$

${\ Displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ Frac {m} {3}} v ^ {2}}$

$3$ oczekiwanym pierwotnym na energię kinetyczną efektywna masa sprężyny w tym m . Korzystając z tego wyniku, całkowitą energię układu można zapisać jako przemieszczenie od nierozciągniętej pozycji sprężyny (pomijając stałe składniki potencjału i przyjmując kierunek w górę jako dodatni): x {\ $x }$

${\ Displaystyle T}$ (Całkowita energia układu)

${\ Displaystyle = {\ tfrac {1}{2}}({\frac {m}{3}})\ v^{2}+{\tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{\tfrac {1}{2 }}kx^{2}-{\tfrac {1}{2}}mgx-Mgx}$

$Zauważ$ , że jest przyspieszenie grawitacji wzdłuż sprężyny. Z różniczkowania równania względem czasu równanie ruchu wygląda następująco:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {-m} {3}} -M \ prawej) \ a = kx- {\ tfrac { 1}{2}}mg-Mg}$

Punkt równowagi można znaleźć, pozwalając przyspieszeniu na zero: ${\ displaystyle x _ {\ operatorname {eq}}}$

${\ Displaystyle x _ {\ operatorname {równ.}} = {\ Frac {1} {k}} \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} mg+Mg\po prawej)}$

Definiując równanie ruchu przyjmuje postać ${\ Displaystyle {\ bar {x}} = x-x _ {\ operatorname {$ równ. }}}

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {m} {3}} + M \ prawej) \ a = - k {\ bar {x}}}$

Oto równanie prostego oscylatora harmonicznego z okresem:

${\ Displaystyle \ tau = 2 \ pi \ lewo ({\ Frac {M + m/3} {k}} \ prawej) ^ {1/2} }$

Tak więc efektywna masa sprężyny dodana do masy ładunku daje nam „efektywną masę całkowitą” układu, którą należy zastosować we wzorze standardowym ${\ Displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {\ frac { m}{k}}}}$ do określenia okresu oscylacji.

Sprawa ogólna

Jak widać powyżej, efektywna masa sprężyny nie zależy od czynników „zewnętrznych”, takich jak przyspieszenie grawitacyjne wzdłuż niej. W rzeczywistości w przypadku niejednorodnej sprężyny masa efektywna zależy wyłącznie od jej gęstości liniowej wzdłuż jej długości: ${\ Displaystyle \ rho (x)}$

${\ Displaystyle K = \ int _ {m} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \, dm}$

${\ Displaystyle = \ int _ {0} ^ {L} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \ rho (x) \, dx}$

${\ Displaystyle = \ int _ {0} ^ {L} {\ tfrac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {vx} {L}} \ prawej) ^ { 2} \ rho (x) \, dx}$

${\ Displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} \ lewo [\ int _ {0}^{L}{\frac {x^{2}}{L^{2}}}\rho (x)\,dx\right]v^{2}}$

Zatem efektywna masa sprężyny wynosi:

$\ Displaystyle m _ {\ operatorname {eff}} = \ int _ {0} ^ {L} {\ Frac {x ^ {2}}} L^{2}}}\rho (x)\,dx}$

Wynik ten pokazuje również, że ${\ Displaystyle m _ {\ operatorname {eff}} \ równoważnik m}$${\ Displaystyle m _ {\ operatorname {eff}} = m}$ gdzie występuje przypadek niefizycznej sprężyny, której masa znajduje się wyłącznie na końcu najbardziej oddalonym od podpory.

Prawdziwa wiosna

W powyższych obliczeniach przyjęto, że współczynnik sztywności sprężyny nie zależy od jej długości. Jednak nie dotyczy to prawdziwych sprężyn. $sprężyste$ wartości przemieszczenie nie jest tak duże, spowodować . Jun-ichi $sprężyny w pionowym układzie sprężyna$ i Yoshiro Sadamoto odkryli, że wraz ze wzrostem powyżej 7, efektywna masa staje się mniejsza niż wartość Rayleigha ${\ displaystyle m /3}$ i ostatecznie osiąga wartości ujemne. To nieoczekiwane zachowanie się masy efektywnej można wytłumaczyć w kategoriach sprężystego efektu wtórnego (to znaczy, że sprężyna nie powraca do swojej pierwotnej długości po usunięciu obciążenia).

Zobacz też

• Przykłady prostego ruchu harmonicznego (SHM) .
• Zredukowana masa

Linki zewnętrzne

• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180
• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350
• https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
• https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics- Effective-mass-of-spring-40942.htm
• http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
• „Efektywna masa oscylującej sprężyny” Am. J. Phys., 38, 98 (1970)
• „Efektywna masa oscylującej sprężyny” Nauczyciel fizyki, 45, 100 (2007)