Matematyka odwrócona: dowody od środka na zewnątrz
Reverse Mathematics: Proofs from the Inside Out to książka Johna Stillwella na temat matematyki odwrotnej , procesu badania dowodów w matematyce w celu określenia, które aksjomaty są wymagane przez dowód. Został opublikowany w 2018 roku przez Princeton University Press ( ISBN 978-0-691-17717-5 ).
Tematy
Książka zaczyna się od historycznego przeglądu długich zmagań z postulatem równoległości w geometrii euklidesowej oraz fundamentalnego kryzysu przełomu XIX i XX wieku . odwrotna matematyka twierdzeń w analizie rzeczywistej, w tym twierdzenie Bolzano – Weierstrassa , twierdzenie Heinego – Borela , twierdzenie o wartości pośredniej i twierdzenie o wartości ekstremalnej , twierdzenie Heinego – Cantora o jednolitej ciągłości , twierdzenie Hahna – Banacha i twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu . Twierdzenia te są analizowane w odniesieniu do trzech z „wielkiej piątki” podsystemów arytmetyki drugiego rzędu , a mianowicie rozumienia arytmetycznego, rozumienia rekurencyjnego i słabego lematu Kőniga.
Publiczność
Książka jest skierowana do „ogólnego grona odbiorców matematycznych”, w tym studentów studiów licencjackich z matematyki, którzy mają podstawowe doświadczenie w analizie rzeczywistej. Ma on na celu zarówno wzbudzić zainteresowanie matematyków, fizyków i informatyków podstawowymi zagadnieniami w ich dziedzinach, jak i zapewnić przystępne wprowadzenie do tematu. Nie jest to jednak podręcznik; na przykład nie ma ćwiczeń. Jednym z tematów książki jest to, że wiele twierdzeń w tej dziedzinie wymaga aksjomatów w arytmetyce drugiego rzędu , które obejmują nieskończone procesy i funkcje nieobliczalne .
Jeffry Hirst krytykuje książkę, pisząc, że „jeśli ktoś nie ma obsesji na punkcie szczegółów, Proofs from the Inside Out to interesujące wprowadzenie”, jednocześnie znajdując szczegóły, które wolałby traktować inaczej, w temacie, w którym szczegóły są ważne . W szczególności w tej dziedzinie istnieje wiele możliwości budowania arytmetyki na liczbach rzeczywistych z prostszych typów danych, takich jak liczby naturalne , i chociaż Stillwell omawia trzy z nich ( liczby dziesiętne , cięcia Dedekinda i zagnieżdżonych przedziałów), sama konwersja między nimi wymaga nietrywialnych założeń aksjomatycznych.
Jednak James Case nazywa tę książkę „bardzo czytelną”, a Roman Kossak nazywa ją „gwiezdnym przykładem wykładniczego pisania o matematyce”. Kilku innych recenzentów zgadza się, że ta książka może być pomocna jako nietechniczny sposób na wzbudzenie zainteresowania tym tematem u matematyków, którzy jeszcze go nie znają, i poprowadzenie ich do bardziej szczegółowego materiału w tej dziedzinie.
Jako dodatkową lekturę na temat matematyki odwrotnej w kombinatoryce , Hirst sugeruje Slicing the Truth autorstwa Denisa Hirschfeldta. Inną książką zasugerowaną przez recenzenta Reinharda Kahle'a jest Subsystems of Second Order Arithmetic Stephena G. Simpsona .