Materiał hipoelastyczny

W mechanice kontinuum materiał hipoelastyczny jest materiałem elastycznym , który ma model konstytutywny niezależny od skończonych miar odkształcenia, z wyjątkiem przypadku linearyzowanego. Hipoelastyczne modele materiałowe różnią się od hiperelastycznych modeli materiałowych (lub standardowych modeli sprężystości) tym, że z wyjątkiem szczególnych okoliczności nie można ich wyprowadzić z funkcji gęstości energii odkształcenia .

Przegląd

Materiał hipoelastyczny można ściśle zdefiniować jako taki, który jest modelowany za pomocą równania konstytutywnego spełniającego następujące dwa kryteria:

1. Naprężenie Cauchy'ego $}$$}$ zależy tylko od kolejności, w jakiej ciało zajmowało swoje przeszłe konfiguracje, ale nie od tempa, w jakim te przeszłe konfiguracje σ {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma} zostały przekroczone. W szczególnym przypadku kryterium to obejmuje elastyczny materiał Cauchy'ego , dla którego obecne naprężenie zależy tylko od bieżącej konfiguracji, a nie od historii przeszłych konfiguracji.
2. Istnieje funkcja o wartościach tensorowych taka, że ${\ displaystyle G}$
   $${\ Displaystyle {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} = G ({\ boldsymbol {\ sigma}}, {\ boldsymbol {L}}) \,,}$$
   gdzie $jest$ szybkością materiałową tensora naprężenia Cauchy'ego, $jest$ gradientu przestrzennej .

Jeśli tylko te dwa pierwotne kryteria zostaną użyte do zdefiniowania hiposprężystości, to hipersprężystość zostanie uwzględniona jako przypadek szczególny, co skłania niektórych konstytutywnych modelarzy do dodania trzeciego kryterium, które wyraźnie wymaga, aby model hipoelastyczny nie był hipersprężysty (tj. hiposprężystość implikuje, że naprężenie jest nie można wyprowadzić z potencjału energetycznego). Jeśli przyjmie się to trzecie kryterium, wynika z tego, że materiał hipoelastyczny może dopuszczać niezachowawcze adiabatyczne ścieżki obciążenia, które zaczynają się i kończą tym samym gradientem odkształcenia , ale nie zaczynają się i nie kończą przy tej samej energii wewnętrznej.

Zauważ , że drugie kryterium wymaga jedynie $istnienia$ . Jak wyjaśniono poniżej, określone sformułowania modeli hipoelastycznych zazwyczaj wykorzystują tak zwaną $niejawnie$ stopę naprężeń, tak że funkcja istnieje tylko .

Hipoelastyczne modele materiałowe często przybierają formę

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ tau}}} = {\ mathsf {M}}: {\ boldsymbol {d}}}$$

gdzie jest obiektywną szybkością naprężenia Kirchhoffa ( $\ tau}}: = J {\ boldsymbol {\ sigma}}$$boldsymbol$ }, ${\ textstyle {\ boldsymbol {d}}: = \ lewo [{\ Frac {1} {2}} ({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}$ to tensor szybkości odkształcenia , a ${\ Displaystyle {\ mathsf {M}}}$ jest tak zwanym tensorem sztywności sprężystej stycznej, który zmienia się wraz z samym naprężeniem i jest uważany za tensor właściwości materiału. W hipersprężystości sztywność styczna generalnie musi również zależeć od gradientu odkształcenia , aby właściwie uwzględnić zniekształcenie i obrót anizotropowych kierunków włókien materiału.

Hipoelastyczność i obiektywne wskaźniki stresu

W wielu praktycznych problemach mechaniki ciał stałych wystarczy scharakteryzować odkształcenie materiału za pomocą małego (lub zlinearyzowanego) tensora odkształcenia

$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ Frac {1} {2}} (u_ {i, j} + u_ {j, ja })}$$

gdzie $($ składowymi przemieszczeń punktów kontinuum, indeksy dolne odnoszą się do współrzędnych kartezjańskich $Displaystyle x_ {i}}$$i=1,2,3)}$${\ Displaystyle ($ , a indeksy dolne poprzedzone przecinkiem oznaczają pochodne cząstkowe (np. ${\ Displaystyle u_ {i, j} = \ częściowe u_ {i} / \ częściowe x_ {j}})$ . Ale istnieje również wiele problemów, w których należy wziąć pod uwagę skończoność odkształcenia. Są one dwojakiego rodzaju:

1. duże nieliniowe odkształcenia sprężyste posiadające energię potencjalną (wykazywane np. przez gumę), w których składowe tensora naprężeń są otrzymywane jako pochodne cząstkowe ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle W ({\ boldsymbol {F}})$ w odniesieniu do składowych tensora skończonego odkształcenia; I
2. odkształcenia niesprężyste bez potencjału, w których zależność naprężenie-odkształcenie jest definiowana przyrostowo.

odpowiednie jest sformułowanie całkowitego odkształcenia opisane w artykule na temat teorii odkształceń skończonych . W tym ostatnim rodzaju konieczne jest sformułowanie przyrostowe (lub szybkości), które musi być stosowane w każdym obciążeniu lub kroku czasowym programu komputerowego elementów skończonych przy użyciu zaktualizowanej procedury Lagrange'a. Brak potencjału rodzi zawiłe pytania ze względu na swobodę wyboru skończonej miary odkształcenia i charakterystyki szybkości naprężeń.

Dla wystarczająco małego kroku obciążenia (lub przyrostu) można użyć tensora szybkości odkształcenia (lub odkształcenia prędkości)

$$\ Displaystyle d_ {ij} = {\ kropka {\ varepsilon}} _ {ij} = {\ Frac {1} 2}}(v_{i,j}+v_{j,i})}$$

lub przyrost

$${\ Displaystyle \ Delta \ varepsilon _ {ij} = {\ kropka {\ varepsilon}} _ {ij} \ Delta t = d_ {ij} \ delta t}$$

reprezentujący zlinearyzowany przyrost odkształcenia od stanu początkowego (naprężonego i odkształconego) w kroku. $t}$$oznacza$ reprezentuje materialną pochodną czasu ( danej cząstce materiału), przyrost w stosunku do kroku, $\ Delta}$$Displaystyle$$prędkość$ i punktu materialnego lub

Jednak nie byłoby obiektywne użycie pochodnej czasowej naprężenia Cauchy'ego (lub prawdziwego) $\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ . To naprężenie, które opisuje siły działające na mały element materialny, który ma zostać wycięty z materiału w stanie, w jakim jest obecnie odkształcony, nie jest obiektywne, ponieważ zmienia się wraz z obrotami bryły sztywnej materiału. Punkty materialne muszą być scharakteryzowane przez ich początkowe współrzędne ${\ displaystyle X_ {i}}$ (zwany Lagrange'em), ponieważ różne cząstki materiału są zawarte w elemencie, który jest wycinany (w tym samym miejscu) przed i po stopniowym odkształceniu.

$tym konieczne$${\ Displaystyle \ Delta \ sigma _ {ij} = {\ kapelusz {\ sigma}} _ {ij} \ Delta t}$ wprowadzenie tak zwanego wskaźnika stresu odpowiedniego przyrostu . Obiektywność jest konieczna dla ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} _ {ij}}$ być funkcjonalnie powiązany z odkształceniem elementu. Oznacza to, że $musi być niezmienny w odniesieniu$ tego samego elementu materialnego, który się odkształca.

Zobacz też

• Środki na stres
• Materiał hiperelastyczny
• Obiektywne wskaźniki stresu
• Zasada materialnej obiektywności
• Teoria odkształceń skończonych
• Teoria odkształceń nieskończenie małych

Bibliografia

• Truesdell, Clifford (1963), „Uwagi na temat hipoelastyczności”, Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B , 67B (3): 141–143