Obiektywny wskaźnik stresu

Prognozy na podstawie trzech obiektywnych współczynników naprężeń pod ścinaniem

W mechanice kontinuum obiektywne współczynniki naprężeń są pochodnymi naprężeń w czasie , które nie zależą od układu odniesienia . Wiele równań konstytutywnych zaprojektowano w postaci zależności między szybkością naprężenia a szybkością odkształcenia (lub tensorem szybkości odkształcenia ). Reakcja mechaniczna materiału nie powinna zależeć od układu odniesienia. Innymi słowy, materialne równania konstytutywne powinny być niezależne od ram (obiektywne) . Jeśli stres a miary odkształcenia są wielkościami materialnymi , wówczas obiektywność jest automatycznie spełniona. Jeśli jednak wielkości są przestrzenne , wówczas obiektywność współczynnika naprężeń nie jest gwarantowana, nawet jeśli współczynnik odkształceń jest obiektywny.

Istnieje wiele obiektywnych współczynników naprężeń w mechanice kontinuum - z których wszystkie można wykazać, że są specjalnymi formami pochodnych Liego . Niektóre z powszechnie stosowanych obiektywnych wskaźników stresu to:

1. współczynnik Truesdella tensora naprężenia Cauchy'ego ,
2. Greena -Naghdiego stresu Cauchy'ego i
3. Zaremby -Jaumanna stresu Cauchy'ego.

Rysunek obok pokazuje zachowanie się różnych obiektywnych prędkości w prostym teście ścinania , w którym model materiału jest hipoelastyczny ze stałymi modułami sprężystości . Stosunek naprężenia ścinającego do przemieszczenia jest wykreślany w funkcji czasu. Te same moduły są używane z trzema obiektywnymi wskaźnikami naprężeń. Najwyraźniej obserwuje się fałszywe oscylacje dla współczynnika naprężeń Zaremby-Jaumanna. Nie dzieje się tak dlatego, że jeden wskaźnik jest lepszy od drugiego, ale dlatego, że niewłaściwe jest użycie modeli materiałowych, aby używać tych samych stałych z różnymi obiektywnymi wskaźnikami. Z tego powodu ostatnim trendem było całkowite unikanie obiektywnych wskaźników stresu tam, gdzie to możliwe.

Nieobiektywność pochodnej czasowej naprężenia Cauchy'ego

Przy obrotach ciała sztywnego ( ) $}}}$ naprężenia Cauchy'ego przekształca się jako $Q$

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {r} = {\ boldsymbol {Q}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {Q}} ^ { T}~;~~{\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$

Ponieważ jest wielkością przestrzenną $, a transformacja$$jest$ z regułami tensorowych , jest obiektywna. Jednakże,

$${\ Displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {r}) = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} _ {r} = {\ kropka {\ boldsymbol {Q}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}+{\boldsymbol {Q}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\sigma}} }\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}+{\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\dot {\boldsymbol {Q}}}^{T}\ neq {\ pogrubiony symbol {Q}} \ cdot {\ kropka {\ pogrubiony symbol {\ sigma}}} \ cdot {\ pogrubiony symbol {Q}} ^ {T} \,.}$$

$,$ współczynnik naprężeń nie jest obiektywny chyba że szybkość rotacji wynosi zero, tj. jest stała.

Rysunek 1. Niezdeformowany i zdeformowany element materiałowy oraz kostka elementarna wycięta ze zdeformowanego elementu.

Aby fizycznie zrozumieć powyższe, rozważmy sytuację pokazaną na rysunku 1. Na rysunku składowe tensora naprężenia Cauchy'ego (lub prawdziwego) są oznaczone symbolami . S ja jot {\ displaystyle S_ $}$ . Ten tensor, który opisuje siły działające na mały element materialny, który ma zostać wycięty z materiału w stanie aktualnie odkształconym, nie jest obiektywny przy dużych odkształceniach, ponieważ zmienia się wraz z obrotami bryły sztywnej materiału. Punkty materialne muszą być scharakteryzowane przez ich początkowe współrzędne Lagrangianu ${\ displaystyle X_ {i}}$ . W związku z tym konieczne jest wprowadzenie tak zwanego obiektywnego wskaźnika stresu ${\ Displaystyle \ Delta S_ {ij} = {\ overset {\ circ} {S}} _ {ij} \ Delta t}$ przyrostu $}$ . Obiektywność jest konieczna dla ${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {S}} _ {ij}}$ być funkcjonalnie powiązany z odkształceniem elementu. Oznacza to, że musi być niezmienny w odniesieniu do przekształceń współrzędnych, zwłaszcza obrotów bryły sztywnej, i $musi$ element materialny, gdy się odkształca.

Obiektywną stopę stresu można wyprowadzić na dwa sposoby:

• przez tensoryczne przekształcenia współrzędnych, co jest standardowym sposobem w podręcznikach elementów skończonych
• wariacyjnie, z gęstości energii odkształcenia w materiale wyrażonej jako tensor odkształcenia (co z definicji jest obiektywne)

Podczas gdy pierwszy sposób jest pouczający i dostarcza przydatnych informacji geometrycznych, drugi sposób jest matematycznie krótszy i ma dodatkową zaletę automatycznego zapewniania zachowania energii, tj. gwarantuje, że praca drugiego rzędu tensora przyrostu naprężenia na tensorze przyrostu odkształcenia będzie poprawna (wymagany staż pracy).

Współczynnik naprężeń Truesdella dla naprężenia Cauchy'ego

Zależność między stresem Cauchy'ego a drugim stresem PK nazywana jest transformacją Pioli . Tę transformację można zapisać w kategoriach wycofania lub przesunięcia do przodu jako σ $}}$$sigma$

$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {S}} = J ~ \ fi ^ {*} [{\ pogrubiony symbol {\ sigma}}] ~; ~ ~ {\ pogrubiony symbol {\ sigma} }=J^{-1}~\fi _{*}[{\boldsymbol {S}}]}$$

Współczynnik Truesdella dla naprężenia Cauchy'ego jest transformacją Pioli pochodnej materiału po czasie drugiego naprężenia PK. W ten sposób określamy

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = J ^ {- 1} ~ \ phi _ {*} [{\ kropka { \boldsymbol {S}}}]}$$

Rozszerzony, to znaczy, że

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = J ^ {-1} ~ {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ kropka {\ boldsymbol {S}}} \ cdot { \boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left(J~{\boldsymbol {F }}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T} =J^{-1}~{\mathcal {L}}_{\varphi}[{\boldsymbol {\tau}}]}$$

gdzie naprężenie Kirchhoffa i pochodna Liego naprężenia Kirchhoffa wynosi ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ varphi} [{\ boldsymbol {\ tau}}] = {\ boldsymbol {F}} \ cdot \ lewo [{\ cfrac {d} {dt}} \ lewo ({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F }}^{T}~.}$$

Wyrażenie to można uprościć do dobrze znanego wyrażenia na współczynnik Truesdella naprężenia Cauchy'ego

Współczynnik Truesdella naprężenia Cauchy'ego $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma} }}-{\boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}-{\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}+{\text{tr}} ({\boldsymbol {l}}) ~ {\boldsymbol {\sigma}}}$$ gdzie jest gradientem prędkości: $fa$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {l}} = {\ kropka {\ boldsymbol {F}}}$ . Dowód zaczynamy od $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = J ^ {-1} ~ {\ boldsymbol {F}} \ cdot \ lewo [{\ cfrac {d} {dt}} \ left(J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\ symbol pogrubienia {F}}^{T}~.}$$ Rozwijając pochodną w nawiasach kwadratowych, otrzymujemy $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} & = J ^ {-1} ~ {\ boldsymbol {F}} \ cdot ({\ kropka {J} }~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T})\cdot {\boldsymbol {F}}^{ T}+J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot (J~{\dot {{\boldsymbol {F}}^{-1}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}} \cdot {\boldsymbol {F}}^{-T})\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\\&+J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot (J ~ {\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\dot {\boldsymbol {\sigma}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T})\cdot {\boldsymbol {F} }^{T}+J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot { \dot {{\boldsymbol {F}}^{-T}}})\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\end{wyrównane}}}$$ Lub, $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = J ^ {-1} ~ {\ kropka {J}} ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} + {\ boldsymbol {F} }\cdot {\dot {{\boldsymbol {F}}^{-1}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}+{\dot {\boldsymbol {\sigma}}}+{\boldsymbol {\ sigma }}\cdot {\dot {{\boldsymbol {F}}^{-T}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$$ Teraz, $${\ Displaystyle {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} = {\ boldsymbol {\ mathit {1}}}}$$ Dlatego, $${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {F}} \ cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}\right)=0\quad \implikuje \quad {\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}+ {\boldsymbol {F}}\cdot {\dot {{\boldsymbol {F}}^{-1}}}=0}$$ Lub, $${\ Displaystyle {\ kropka {{\ pogrubiony symbol {F}} ^ {- 1}}} = - {\ pogrubiony symbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {l}}\quad \implikuje \quad {\dot {{\boldsymbol {F}}^{-T}}}=-{\boldsymbol {l} }^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$$ gdzie gradient prędkości ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {l}} = {\ kropka {\ boldsymbol {F}}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1}}$ . Również szybkość zmiany objętości jest dana przez $${\ Displaystyle {\ kropka {J}} = J ~ {\ tekst {tr}} ({\ boldsymbol {d}}) = J ~ {\ tekst { tr}}({\boldsymbol {l}})}$$ gdzie $.$ tensorem szybkości deformacji Dlatego, $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = J ^ {-1} ~ J ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {l}}) ~ {\ boldsymbol { \sigma }}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}+{\dot { \boldsymbol {\sigma}}}-{\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot {\boldsymbol { F}}^{T}}$$ Lub, $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma} }}-{\boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}-{\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}+{\text{tr}} ({\boldsymbol {l}}) ~ {\boldsymbol {\sigma}}}$$

Można wykazać, że wskaźnik Truesdella jest obiektywny.

Współczynnik Truesdella naprężenia Kirchhoffa

Współczynnik Truesdella naprężenia Kirchhoffa można uzyskać, zauważając to

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} = \ fi ^ {*} [{\ pogrubiony symbol {\ tau}}] ~; ~ ~ {\ pogrubiony symbol {\ tau}} = \ fi _ {*}[{\boldsymbol {S}}]}$$

i definiowanie

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ tau}}} = \ phi _ {*} [{\ kropka {\ boldsymbol {S}}}]}$$

Rozszerzony, to znaczy, że

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ tau}}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ kropka {\ boldsymbol {S}}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T}={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau} }\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\mathcal {L}}_{\varphi}[{\ symbol pogrubienia {\tau}}]}$$

Dlatego pochodna Liego $taka$ sama jak współczynnik Truesdella naprężenia Kirchhoffa .

Postępując zgodnie z tym samym procesem, co w przypadku naprężenia Cauchy'ego powyżej, możemy to pokazać

Współczynnik Truesdella naprężenia Kirchhoffa $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ tau}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ tau}}} - {\ boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\tau}}-{\boldsymbol {\tau}}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}}$$

Współczynnik Greena-Naghdiego dla naprężenia Cauchy'ego

Jest to szczególna postać pochodnej Liego (lub współczynnika Truesdella naprężenia Cauchy'ego). Przypomnijmy, że współczynnik Truesdella naprężenia Cauchy'ego jest określony wzorem

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = J ^ {-1} ~ {\ boldsymbol {F}} \ cdot \ lewo [{\ cfrac {d} {dt}} \ left(J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\ symbol pogrubienia {F}}^{T}~.}$$

Z twierdzenia o rozkładzie biegunowym mamy

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {U}}}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$ jest tensorem obrotu ortogonalnego ( ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {R}} ^ {- 1} = {\ boldsymbol {R}} ^ { T}}$ ) i $jest$ , dodatnio określonym, prawym rozciągnięciem.

Jeśli założymy, że ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {U}} = {\ boldsymbol {\ mathit {1}}}}$ otrzymamy ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol { R}}}$ . Również ponieważ nie ma odcinka $Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ boldsymbol {\$ mamy $}$ . Należy zauważyć, że nie oznacza to, że ciało nie jest rozciągnięte — to uproszczenie ma na celu zdefiniowanie obiektywnego wskaźnika stresu. Dlatego,

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ boldsymbol {R}} \ cdot \ lewo [{\ cfrac {d} {dt}} \ lewo ({\ boldsymbol {R }}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {R}}^{T} ={\boldsymbol {R}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot { \boldsymbol {R}}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$

Możemy pokazać, że wyrażenie to można uprościć do powszechnie używanej postaci kursu Greena-Naghdiego

Współczynnik Greena-Naghdiego dla naprężenia Cauchy'ego $${\ Displaystyle {\ overset {\ kwadrat}} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} + {\ boldsymbol { \sigma}}\cdot {\boldsymbol {\Omega}}-{\boldsymbol {\Omega}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}}$$ gdzie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = {\ kropka {\ boldsymbol {R}}} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T}}$ . Dowód Rozwijanie pochodnej $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ kropka {{\ boldsymbol {R}} ^ {T}}} \ cdot {\ boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}+{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}\ cdot {\dot {\boldsymbol {\sigma}}}\cdot {\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}+{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R }} ^ {T}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ Lub, $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\dot {{\boldsymbol {R}}^{T}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}+{\dot {\boldsymbol {\sigma}}}+{\boldsymbol {\sigma}}\ cdot {\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ Teraz, $${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {R}} \ cdot {\ pogrubiony symbol {R}} ^ {T} = {\ pogrubiony symbol {\ mathit { 1}}}\quad \implikuje \quad {\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}=-{\boldsymbol {R}}\cdot {\dot {{ \boldsymbol {R}}^{T}}}}$$ Dlatego, $${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma }}}+ {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}-{\dot {\boldsymbol {R}}} \cdot {\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}}$$ Jeśli zdefiniujemy prędkość kątową jako $${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = {\ kropka {\ boldsymbol {R}}} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T}}$$ otrzymujemy powszechnie stosowaną postać kursu Greena-Naghdiego $${\ Displaystyle {\ overset {\ kwadrat}} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} + {\ boldsymbol { \sigma}}\cdot {\boldsymbol {\Omega}}-{\boldsymbol {\Omega}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}}$$

Współczynnik Greena-Naghdiego naprężenia Kirchhoffa ma również postać, ponieważ nie bierze się pod uwagę rozciągnięcia, tj.

$${\ Displaystyle {\ overset {\ kwadrat}} {\ boldsymbol {\ tau}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ tau}}} + {\ boldsymbol { \tau}}\cdot {\boldsymbol {\Omega}}-{\boldsymbol {\Omega}}\cdot {\boldsymbol {\tau}}}$$

Współczynnik Zaremby-Jaumanna dla naprężeń Cauchy'ego

Współczynnik Zaremby-Jaumanna naprężenia Cauchy'ego jest dalszą specjalizacją pochodnej Liego (współczynnik Truesdella). Ta stawka ma postać

Współczynnik Zaremby-Jaumanna dla naprężeń Cauchy'ego $${\ Displaystyle {\ overset {\ trójkąt}} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} + {\ boldsymbol { \sigma }}\cdot {\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}}$$ gdzie $.$ tensorem spinu

Współczynnik Zaremby-Jaumanna jest szeroko stosowany w obliczeniach głównie z dwóch powodów

1. jest stosunkowo łatwy do wdrożenia.
2. prowadzi to do symetrycznych modułów stycznych.

Przypomnijmy, że tensor spinu (skośna część gradientu prędkości) można wyrazić jako w $\ displaystyle {\ boldsymbol {w}}}$

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {w}} = {\ kropka {\ boldsymbol {R} }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}+{\frac {1}{2}}~{\boldsymbol {R}}\cdot ({\dot {\boldsymbol {U}}}\cdot {\boldsymbol {U}}^{-1}-{\boldsymbol {U}}^{-1}\cdot {\dot {\boldsymbol {U}}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{ T}}$$

Zatem dla czystego ruchu ciała sztywnego

$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {w}} = {\ kropka {\ pogrubiony symbol {R}}} \ cdot {\ pogrubiony symbol {R}} ^ {T} = {\ pogrubiony symbol {\ Omega }}}$$

Alternatywnie możemy rozważyć przypadek obciążenia proporcjonalnego , gdy główne kierunki odkształcenia pozostają stałe. Przykładem takiej sytuacji jest obciążenie osiowe pręta cylindrycznego. W takiej sytuacji od

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {U}} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ lambda _ {X} \\&\ lambda _ {Y} \\&&\ lambda _ {Z }\end{bmacierz}}}$$

mamy

$${\ Displaystyle {\ kropka {\ pogrubiony symbol {U}}} = {\ rozpocząć {bmatrix} {\ kropka {\ lambda}} _ {X} \\& {\dot {\lambda}}_{Y}\\&&{\dot {\lambda}}_{Z}\end{bmatrix}}}$$

Również,

$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {U}} ^ {- 1} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 / \ lambda _ {X} \\ &1/\lambda _{Y}\\&&1/\lambda _{Z}\end{bmacierz}}}$$

stresu Cauchy'ego. Dlatego,

$${\ Displaystyle {\ kropka {\ boldsymbol {U}}} \ cdot { \boldsymbol {U}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\dot {\lambda }}_{X}/\lambda _{X}\\&{\dot {\lambda }}_{ Y}/\lambda _{Y}\\&&{\dot {\lambda}}_{Z}/\lambda _{Z}\end{bmatrix}}=U^{-1}{\dot {U} }}$$

To jeszcze raz daje

$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {w}} = {\ kropka {\ pogrubiony symbol {R}}} \ cdot {\ pogrubiony symbol {R}} ^ {T} = {\ pogrubiony symbol {\ Omega }}}$$

Ogólnie, jeśli przybliżymy

$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {w}} \ około {\ kropka {\ pogrubiony symbol {R}}} \ cdot {\ pogrubiony symbol {R}} ^ {T}}$$

stopa Greena-Naghdiego staje się stopą Zaremby-Jaumanna stresu Cauchy'ego

$${\ Displaystyle {\ overset {\ trójkąt}} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} + {\ boldsymbol { \sigma }}\cdot {\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}}$$

Inne obiektywne wskaźniki stresu

Może istnieć nieskończona różnorodność obiektywnych wskaźników stresu. Jednym z nich jest współczynnik stresu Oldroyda

$${\ Displaystyle {\ overset {\ triangledown}} = {\mathcal {L}}_ {\varphi}[{\boldsymbol {\sigma}}]={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\ boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^ {T}}$$

W prostszej formie stawka Oldroyda jest podana przez

$${\ Displaystyle {\ overset {\ triangledown}} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} - {\ boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}-{\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}}$$

$boldsymbol odpowiednio {F}}^{-T}}$$-$ T { . Pochodna Liego naprężenia Cauchy'ego jest wówczas nazywana szybkością naprężenia konwekcyjnego

$${\ Displaystyle {\ overset {\ diament} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ boldsymbol {F} }^{-T}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {F}}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}}$$

W prostszej formie szybkość konwekcji jest dana przez

$${\ Displaystyle {\ overset {\ diament}} {\ boldsymbol {\ sigma}}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} + {\ boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}+{\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}}$$

Obiektywne współczynniki naprężeń w skończonej niesprężystości odkształcenia

Wiele materiałów ulega odkształceniom niesprężystym spowodowanym plastycznością i uszkodzeniami. Tych materialnych zachowań nie da się opisać w kategoriach potencjału. Często zdarza się również, że nie istnieje pamięć pierwotnego stanu pierwotnego, zwłaszcza w przypadku dużych deformacji. Relacja konstytutywna jest zwykle definiowana w takich przypadkach w postaci przyrostowej, aby ułatwić obliczanie naprężeń i odkształceń.

Procedura ładowania przyrostowego

Dla wystarczająco małego kroku obciążenia odkształcenie materiału można scharakteryzować małym (lub zlinearyzowanym) tensorem przyrostu odkształcenia

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {e}} = {\ tfrac {1} 2}}\left[{\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {u} )^{T}\right]\quad \equiv \quad e_{ ij}={\tfrac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})}$$

gdzie $przyrostem$ przemieszczenia punktów kontinuum. Pochodna czasu

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {\ boldsymbol {e}}}{\częściowe t}}={\dot {\boldsymbol {e}}}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {v } +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )^{T}\right]\quad \equiv \quad {\dot {e}}_{ij}={\tfrac {1}{2 }}(v_{i,j}+v_{j,i})}$$

jest tensorem szybkości odkształcenia ( $jest$ odkształceniem prędkości), a prędkością punktu materialnego lub szybkością można zastosować miary z rodziny Setha-Hilla (zwane także tensorami Doyle'a-Ericksena):

$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {(m)} = {\ Frac {1} {2 m}} (\ mathbf {U} ^ {2 m} -\mathbf {I} )}$$

gdzie $.$ właściwym odcinkiem Przybliżeniem drugiego rzędu tych tensorów jest

$${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {(m)} \ około {\ boldsymbol {e}} + {\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {e}}\cdot {\boldsymbol {mi}}}$$

Spójne energetycznie obiektywne wskaźniki stresu

Rozważ element materialny jednostkowej objętości początkowej, zaczynając od stanu początkowego pod początkowym naprężeniem Cauchy'ego (lub prawdziwego) i niech ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}}$ i niech ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma }}}$ będzie naprężeniem Cauchy'ego w ostatecznej konfiguracji. Niech będzie pracą wykonaną (na jednostkę objętości początkowej) przez siły wewnętrzne podczas przyrostowego odkształcenia od tego stanu $początkowego$ Następnie wariacja ${\ Displaystyle \ delta W}$ odpowiada zmianie wykonanej pracy w wyniku zmiany przemieszczenia ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {u}}$ . Zmienność przemieszczenia musi spełniać warunki brzegowe przemieszczenia.

Niech $.$ początkowej konfiguracji Zdefiniuj przyrost naprężenia w odniesieniu do początkowej konfiguracji jako ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} = {\ boldsymbol {S}} _ {(m)} - {\ boldsymbol {\ sigma }}_{0}}$ . Alternatywnie, jeśli ${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$ jest niesymetrycznym pierwszym naprężeniem Pioli-Kirchhoffa w odniesieniu do konfiguracji początkowej, przyrost naprężenia można wyrazić jako ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {T}} = {\ boldsymbol {P}} - {\ boldsymbol { \sigma }}_{0}}$ .

Odmiana wykonanej pracy

Wtedy zmienność wykonanej pracy można wyrazić jako

$${\ Displaystyle \ delta W = {\ pogrubiony symbol {S}} _ {(m)}: \ delta {\ pogrubiony symbol {E}} _ {(m)}={\boldsymbol {P}}:\delta \nabla \mathbf {u}}$$

gdzie skończona miara odkształcenia jest energią sprzężoną $)$ naprężenia $boldsymbol {\ sigma}} ^$ . rozszerzony,

$${\ Displaystyle \ delta W = \ lewo ({\ boldsymbol {S}} + {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} \ prawej): \ delta {\ boldsymbol {E}} _ {(m)} = \left({\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\sigma}}_{0}\right):\delta \nabla \mathbf {u} \,.}$$

Obiektywizm tensora naprężeń jest zapewniony przez jego przekształcenie jako tensora drugiego rzędu przy obrotach współrzędnych (co powoduje, że główne naprężenia są niezależne od ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} _ {(m)}}$ obroty współrzędnych) i przez poprawność ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} _ {(m)}: \ delta {\ boldsymbol {E}} _ {(m)} }$ jako wyrażenie energii drugiego rzędu.

Z symetrii naprężenia Cauchy'ego mamy

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}: \ delta \ nabla \ mathbf {u} = {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}: \ delta {\ boldsymbol {e}} \, .}$$

Dla małych zmian odkształcenia, stosując przybliżenie

$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {S}}: \ delta {\ pogrubiony symbol {E}} _ {(m)} \ około {\ pogrubiony symbol {S}}: \ delta \nabla \mathbf {u} }$$

i rozszerzeń

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}: \ delta {\ boldsymbol {E}} _ {(m)} = {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}: \ lewo [{\ frac {\częściowy {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\częściowy \nabla \mathbf {u}}}:\delta \nabla \mathbf {u} \right]~,~~{\boldsymbol {\sigma}}_{0}:\delta {\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {\sigma}}_{0}:\left[{\frac {\częściowy {\boldsymbol {e}}} {\częściowo \nabla \mathbf {u}}}:\delta \nabla \mathbf {u} \right]}$$

otrzymujemy równanie

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}: \ lewo [{\ Frac {\ częściowe {\ boldsymbol {E}} _ {(m)}} {\ częściowe \ nabla \ mathbf {u}} }:\delta \nabla \mathbf {u} \right]+{\boldsymbol {S}}:\delta \nabla \mathbf {u} ={\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{ \frac {\partial {\boldsymbol {e}}}{\partial \nabla \mathbf {u}}}:\delta \nabla \mathbf {u} \right]+{\boldsymbol {T}}:\delta \ nabla \mathbf {u} \,.}$$

Nakładając warunek wariacyjny, że otrzymane równanie musi być ważne dla dowolnego gradientu odkształcenia, mamy ${\ Displaystyle \ delta \ nabla \ mathbf {u}}$

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} = {\ boldsymbol {T}} - {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}:\left[{\frac {\częściowy {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\częściowy \nabla \mathbf {u}}}-{\frac {\częściowy {\boldsymbol { e}}}{\częściowo \nabla \mathbf {u} }}\right]}$$

 

 

 

 

()

Powyższe równanie możemy również zapisać jako

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} _ {(m)} = {\ boldsymbol {P}} - {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}: {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy \ nabla \mathbf {u} }}\left[{\boldsymbol {E}}_{(m)}-{\boldsymbol {e}}\right]\,.}$$

 

 

 

 

()

Pochodne czasu

Naprężenie Cauchy'ego i pierwsze naprężenie Pioli-Kirchhoffa są powiązane (patrz Miary naprężeń )

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {P}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} J ^ {-1} = ({\ boldsymbol {P}} + {\ symbol pogrubienia {P}}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T})J^{-1}\,.}$$

W przypadku małych przyrostowych odkształceń,

$${\ Displaystyle J ^ {- 1} \ około 1- \ nabla \ cdot \ mathbf {u} \,.}$$

Dlatego,

$${\ Displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} \ około ({\ boldsymbol {P}} + {\ boldsymbol { P}}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T})(1-\nabla \cdot \mathbf {u})-{\boldsymbol {\sigma}}_{0}\,.}$$

Podstawiając ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {T}} + {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} = {\ boldsymbol {P}}}$ ,

$${\ Displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ sigma}} \ około [{\ boldsymbol {T}} + {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + ({\ boldsymbol {T}} + {\ boldsymbol { \sigma }}_{0})\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T}](1-\nabla \cdot \mathbf {u})-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\ ,.}$$

Dla małych przyrostów naprężenia w stosunku do ${\ displaystyle {\ boldsymbol {$ początkowego , powyższe redukuje się do $T }}}$

$${\ Displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ sigma}} \ około {\ boldsymbol {T}} - {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) + {\ boldsymbol {\sigma}}_{0}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T}\,.}$$

 

 

 

 

()

Z równań (1) i (3) mamy

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} = \ Delta {\ boldsymbol {\ sigma}} + {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) - {\ boldsymbol { \sigma }}_{0}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\częściowy {\boldsymbol {E} }_ {(m)}}{\częściowe \nabla \mathbf {u} }}-{\frac {\częściowe {\boldsymbol {e}}}{\częściowe \nabla \mathbf {u} }}\right] }$$

 

 

 

 

()

Przypomnijmy, że jest ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} _ {(m)}$ miary tensora naprężeń $)$ . Definiowanie wskaźnika stresu

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} =: {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {S}}} _ {(m)} \ Delta t}$$

i zauważając to

$${\ Displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ Delta t}$$

możemy zapisać równanie (4) jako

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {S}}} _ {(m)} \ Delta t = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ Delta t + {\ boldsymbol {\ sigma} }_{0}(\nabla \cdot \mathbf {v} )\Delta t-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\cdot \nabla \mathbf {v} ^{T}\Delta t-{ \boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\częściowe {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\częściowe \nabla \mathbf {u}}}-{\ frac {\częściowy {\boldsymbol {e}}}{\częściowy \nabla \mathbf {u}}}\right]}$$

 

 

 

 

()

Biorąc granicę w ${\ Displaystyle \ Delta t \ rightarrow 0}$ i zauważając, że $\ displaystyle \ Delta t \ rightarrow 0} i zauważając, że$ w mi ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {E}} _ {(m)}$ :

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {S}}} _ {(m)} = {\ kropka {\ boldsymbol {\ sigma}}} + {\ boldsymbol {\ sigma}} (\ nabla \ cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\sigma}}\cdot \nabla \mathbf {v} ^{T}-{\boldsymbol {\sigma}}:{\frac {\częściowy}}{\częściowy t }}\left[{\frac {\częściowy }{\częściowy \nabla \mathbf {u} }}\left({\boldsymbol {E}}_{(m)}-{\boldsymbol {e}}\right )\Prawidłowy]\,.}$$

 

 

 

 

()

Tutaj ${\ Displaystyle {\ kropka {\ sigma}} _ {ij} = \ częściowa \ sigma _ {ij} / \ częściowa t}$ = współczynnik materiału naprężenia Cauchy'ego (tj. , szybkość we współrzędnych Lagrange'a początkowego stanu naprężonego).

Współczynniki stresu sprzężonego z pracą

Szybkość, dla której nie istnieje uzasadniony tensor odkształcenia skończonego $powiązany$ z (6) jest energetycznie niespójny, tj. jego użycie narusza równowagę energetyczną (tj. pierwszą zasadę termodynamiki).

Równanie oceniające (6) dla ogólnego $dla$ , otrzymuje się ogólne wyrażenie na obiektywną stopę stresu: ${\ displaystyle m = 2}$

$${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {S}} }_ {(m)} = {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {S}}} _ {(2)} + {\ tfrac {1}{2}} (2-m) [{\ boldsymbol { \sigma}}\cdot {\dot {\boldsymbol {e}}}+ ({\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\dot {\boldsymbol {e}}})^{T}]}$$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ Displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {S}}} _ {(2)}}$ jest obiektywnym wskaźnikiem stresu związanym ze szczepem Greena-Lagrange'a ( ${\ Displaystyle m=2}$ ).

W szczególności,

• ${\ displaystyle m = 2}$ daje wskaźnik stresu Truesdell
• ${\ displaystyle m = 0}$ daje współczynnik Zaremby-Jaumanna stresu Kirchhoffa
• ${\ displaystyle m = 1}$ daje wskaźnik stresu Biota

(Zauważ, że m = 2 prowadzi do wzoru Engessera na obciążenie krytyczne przy wyboczeniu ścinającym, podczas gdy m = -2 prowadzi do wzoru Haringxa, który może dać obciążenia krytyczne różniące się o > 100%).

Wskaźniki stresu niezwiązanego z pracą

Inne współczynniki, używane w większości kodów komercyjnych, które nie są sprzężone z żadnym tensorem odkształcenia skończonego, to:

• Zaremba -Jaumann lub korotacyjna szybkość naprężenia Cauchy'ego : Różni się od szybkości Zaremby-Jaumanna naprężenia Kirchhoffa brakiem szybkości względnej zmiany objętości materiału. Brak sprzężenia pracy zwykle nie stanowi poważnego problemu, ponieważ ten współczynnik jest pomijalnie mały dla wielu materiałów i zerowy dla materiałów nieściśliwych (ale w przypadku wcięcia płyty warstwowej z rdzeniem z pianki współczynnik ten może dawać błąd > 30% w siła nacisku).
• $wolumetrycznego$ Cottera -Rivlina , ale znowu nie terminu
• współczynnik Greena-Naghdiego : ten obiektywny współczynnik naprężeń nie jest sprzężony pracą z żadnym skończonym tensorem odkształcenia, nie tylko z powodu brakującego składnika objętościowego, ale także dlatego, że prędkość obracania się materiału nie jest dokładnie równa tensorowi spinowemu. W zdecydowanej większości zastosowań błędy w obliczeniach energii spowodowane tymi różnicami są pomijalne. Należy jednak zaznaczyć, że duży błąd energetyczny wykazano już dla przypadku odkształceń ścinających i obrotów przekraczających około 0,25.
• kurs Oldroyda .

Wskaźniki obiektywne i pochodne kłamstwa

Obiektywne współczynniki naprężeń można również traktować jako pochodne Liego różnych typów tensorów naprężeń (tj. związanych z nimi kowariantnych, kontrawariantnych i mieszanych składników naprężenia Cauchy'ego) oraz ich liniowych kombinacji. Pochodna Liego nie obejmuje pojęcia pracy-koniugacji.

Styczne moduły sztywności i ich przekształcenia w celu uzyskania spójności energetycznej

Styczna zależność naprężenie-odkształcenie ma ogólnie postać

$${\ Displaystyle {\ kropka {S}} _ {ij} ^ {(m)} = C_ {ijkl} ^ {(m) }{\kropka {e}}_{kl}}$$

 

 

 

 

()

gdzie do ${\ Displaystyle C_ {ijkl} ^ {(m)}}$ to moduły styczne (składowe tensora czwartego rzędu) związane z tensorem odkształcenia $\ Displaystyle \ epsilon _{ij}^{(m)}}$ . Są różne dla różnych wyborów i są powiązane w następujący sposób: ${\ displaystyle m}$

$${\ Displaystyle \ lewo [C_ {ijkl} ^ {(m)} -C_ {ijkl} ^ {(2)} - {\ tfrac {1} {4}} (2-m )(S_{ik}\delta _{jl}+S_{jk}\delta _{il}+S_{il}\delta _{jk}+S_{jl}\delta _{ik})\right]v_ {k,l}=0}$$

 

 

 

 

()

Z faktu, że równ. (7) musi być prawdziwe dla każdego gradientu prędkości, wynika z tego, że: ${\ displaystyle v_ {k, l}}$

$${\ Displaystyle C_ {ijkl} ^ {(m)} = C_ {ijkl} ^ {(2)} + (2-m)[S_{ik}\delta _{jl}]_{\mathrm {sym}},~~[S_{ik}\delta _{jl}]_{\mathrm {sym}}={ \tfrac {1}{4}}(S_{ik}\delta _{jl}+S_{jk}\delta _{il}+S_{il}\delta _{jk}+S_{jl}\delta _ {ik})}$$

 

 

 

 

()

gdzie do $)}}$$,$ są modułami stycznymi związanymi ze szczepem Greena-Lagrange'a ( wziętymi jako a odniesienie, $ij}}$$=$ = bieżący stres Cauchy'ego i delta Kroneckera (lub tensor jednostki)

równanie (8) można wykorzystać do przeliczenia jednego obiektywnego wskaźnika stresu na inny. Ponieważ ${\ Displaystyle S_ {ij} {\ kropka {e}} _ {kk} = (S_ {ij} \ delta _ {kl })\delta e_{kl}}$ , transformacja

$${\ Displaystyle C_ {ijkl} ^ {\ operatorname {conj}} = C_ {ijkl}$$

 

 

 

 

()

$km}}$ brak terminu (zauważ $jot$ że termin $ij}$ nie pozwala na zamianę indeksów dolnych z $co$$,$ brak łamie główną symetrię tensora modułów stycznych ${\ Displaystyle C_ {ijkl} ^ {\ operatorname {nonconj}}})$ .

Duże odkształcenie często pojawia się, gdy zachowanie materiału staje się nieliniowe z powodu plastyczności lub uszkodzenia. Wtedy podstawową przyczyną zależności modułów stycznych od naprężeń jest fizyczne zachowanie się materiału. co równanie $,$ że ​​nieliniowa zależność stresu musi być różna dla różnych Jednak żaden z nich nie jest zasadniczo preferowany, z wyjątkiem sytuacji, gdy istnieje jeden współczynnik naprężeń, jeden $.$ dla którego moduły można uznać za stałe

Zobacz też

• Tensor naprężenia Cauchy'ego
• Środki na stres
• Zasada materialnej obiektywności
• Materiał hipoelastyczny

Linki zewnętrzne

• Obiektywizm w mechanice klasycznej