Metoda pseudospektralna Bellmana
Metoda pseudospektralna Bellmana to pseudospektralna metoda optymalnej kontroli oparta na zasadzie optymalności Bellmana . Jest to część większej teorii optymalnej kontroli pseudospektralnej , terminu ukutego przez Rossa . Metoda nosi imię Richarda E. Bellmana . Został wprowadzony przez Rossa i in. najpierw jako środek do rozwiązywania wieloskalowych problemów sterowania optymalnego, a później rozszerzony w celu uzyskania rozwiązań suboptymalnych dla ogólnych problemów sterowania optymalnego.
Podstawy teoretyczne
Wieloskalowa wersja metody pseudospektralnej Bellmana jest oparta na właściwości zbieżności widmowej metod pseudospektralnych Rossa – Fahroo . To znaczy, ponieważ pseudospektralna metoda Rossa-Fahroo zbiega się wykładniczo szybko, punktową zbieżność do rozwiązania uzyskuje się przy bardzo małej liczbie węzłów, nawet jeśli rozwiązanie ma składowe o wysokiej częstotliwości. To aliasingu w optymalnej kontroli zostało po raz pierwszy odkryte przez Rossa i in. Zamiast stosować techniki przetwarzania sygnału do antyaliasingu rozwiązania, Ross i in. zaproponował, że zasadę optymalności Bellmana można zastosować do rozwiązania konwergentnego w celu wyodrębnienia informacji między węzłami. Ponieważ węzły Gaussa – Lobatto skupiają się w punktach granicznych, Ross i in. zasugerował, że jeśli gęstość węzłów wokół warunków początkowych spełnia twierdzenie Nyquista-Shannona o próbkowaniu , to kompletne rozwiązanie można odzyskać, rozwiązując problem optymalnej kontroli w sposób rekurencyjny na fragmentarycznych segmentach znanych jako segmenty Bellmana.
W rozszerzonej wersji metody Ross i in. Zaproponowali, że metoda ta może być również wykorzystana do generowania wykonalnych rozwiązań, które niekoniecznie są optymalne. W tej wersji można zastosować metodę pseudospektralną Bellmana przy jeszcze mniejszej liczbie węzłów, nawet wiedząc, że rozwiązanie mogło nie dojść do zbieżności optymalnej. W tej sytuacji uzyskuje się wykonalne rozwiązanie.
Niezwykłą cechą metody pseudospektralnej Bellmana jest to, że automatycznie określa ona kilka miar suboptymalności na podstawie pierwotnego kosztu pseudospektralnego i kosztu wygenerowanego przez sumę segmentów Bellmana.
Wydajność obliczeniowa
Jedną z zalet obliczeniowych metody pseudospektralnej Bellmana jest to, że pozwala ona uniknąć reguł Gaussa w rozkładzie punktów węzłowych. Oznacza to, że w standardowej metodzie pseudospektralnej rozkład punktów węzłowych jest rozkładem Gaussa (zwykle Gaussa-Lobatto dla skończonego horyzontu i Gaussa-Radaua dla nieskończonego horyzontu). Punkty Gaussa są rzadkie w środku przedziału (środek jest zdefiniowany w przesuniętym sensie dla problemów z nieskończonym horyzontem) i gęste na granicach. Nagromadzenie punktów drugiego rzędu w pobliżu granic powoduje marnowanie węzłów. Metoda pseudospektralna Bellmana wykorzystuje akumulację węzłów w punkcie początkowym do antyaliasingu rozwiązania i odrzuca pozostałe węzły. Zatem ostateczny rozkład węzłów jest niegaussowski i gęsty, podczas gdy metoda obliczeniowa zachowuje rzadką strukturę.
Aplikacje
Metoda pseudospektralna Bellmana została po raz pierwszy zastosowana przez Rossa i in. rozwiązania trudnego problemu optymalizacji trajektorii bardzo niskiego ciągu. Został on z powodzeniem zastosowany do rozwiązania praktycznego problemu generowania bardzo dokładnych rozwiązań problemu wtrysku przez Ziemię, polegającego na przeniesieniu kapsuły kosmicznej z orbity księżycowej do precyzyjnego stanu interfejsu Ziemi w celu pomyślnego ponownego wejścia.
Metoda pseudospektralna Bellmana jest najczęściej stosowana jako dodatkowe sprawdzenie optymalności rozwiązania pseudospektralnego generowanego metodami pseudospektralnymi Rossa – Fahroo. Oznacza to, że oprócz zastosowania zasady minimum Pontryagina w połączeniu z rozwiązaniami otrzymanymi metodami pseudospektralnymi Rossa – Fahroo, metoda pseudospektralna Bellmana jest stosowana jako pierwotny test optymalności obliczonego rozwiązania.