Metoda ułamków ciągłych

Metoda ułamków ciągłych jest metodą opracowaną specjalnie do rozwiązywania równań całkowych kwantowej teorii rozpraszania, takich jak równanie Lippmanna-Schwingera czy równania Faddeeva . Został wynaleziony przez Horáčka i Sasakawę w 1983 roku. Celem metody jest rozwiązanie równania całkowego

${\ Displaystyle |\ psi \ rangle =|\ phi \ rangle + G_ {0} V | \ psi \ rangle}$

iteracyjnie i skonstruować zbieżny ułamek ciągły dla macierzy T

${\ Displaystyle T = \ langle \ phi | V | \ psi \ rangle.}$

Metoda ma dwa warianty. W pierwszym (oznaczonym jako MCFV) konstruujemy przybliżenia operatora energii potencjalnej w postaci funkcji rozdzielnej rzędu $\ displaystyle V}$ , 2, 3… Drugi wariant (metoda MCFG) konstruuje rząd skończony V { przybliżenia do operatora Greena. Przybliżenia są konstruowane w podprzestrzeni Kryłowa zbudowanej z wektora ${\ Displaystyle |\ phi \ rangle}$ z działaniem operatora ${\ Displaystyle A = G_ {0} V}$ . Metodę można zatem rozumieć jako wznowienie (na ogół rozbieżnych) szeregów Borna przez przybliżenia Padé . Jest to również ściśle związane z zasadą wariacyjną Schwingera . Na ogół metoda wymaga podobnego nakładu pracy numerycznej jak obliczenie wyrazów szeregów Borna, ale zapewnia znacznie szybszą zbieżność wyników.

Algorytm MCFV

Wyprowadzenie metody przebiega w następujący sposób. Najpierw wprowadzamy pierwsze (rozdzielne) przybliżenie potencjału

${\ Displaystyle V = {\ Frac {V|\ phi \ rangle \ langle \ phi | V} {\ langle \ phi | V | \ phi \ rangle}} + V_ {1}.}$

Równanie całkowe dla pierwszej części potencjału jest łatwe do rozwiązania. Pełne rozwiązanie pierwotnego problemu można zatem wyrazić jako

${\ Displaystyle |\ psi \ rangle =|\ phi \ rangle + {\ Frac {T} {\ langle \ phi | V | \ phi \ rangle}} | \ psi _ {1} \ rangle, \ qquad T = { \frac {\langle \phi |V|\phi \rangle ^{2}}{\langle \phi |V|\phi \rangle -\langle \phi |V|\psi _{1}\rangle }}, }$

w zakresie nowej funkcji ${\ Displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$ . Ta funkcja jest rozwiązaniem zmodyfikowanego równania Lippmanna-Schwingera

${\ Displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle = | \ phi _ {1} \ rangle + G_ {0} V_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle,}$

z ${\ Displaystyle |\ phi _ {1} \ rangle = G_ {0} V | \ phi \ rangle.}$ Reszta potencjalnego składnika ${\ Displaystyle V_ {1}}$ jest przezroczysta dla nadchodzącej fali

${\ Displaystyle V_ {1} | \ phi \ rangle = \ langle \ phi | V_ {1} = 0,}$

tzn. jest operatorem słabszym niż oryginalny. Uzyskany w ten sposób nowy problem dla ${\ Displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$ ma taką samą formę jak oryginalna i możemy powtórzyć procedurę. Prowadzi to do powtarzających się relacji

${\ Displaystyle V_ {i} = V_ {i-1} - {\ Frac {V_ {i-1} | \ phi _ {i-1} \ rangle \ langle \ phi _ {i-1} | V_ {i -1}}{\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle }}}$

${\ Displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle = G_ {0} V_ {i-1} | \ phi _ {i-1} \ rangle.}$

Można pokazać, że macierz T pierwotnego problemu można wyrazić w postaci ułamka łańcuchowego

$\ Displaystyle T = {\ cfrac {\ beta _ {0} ^ {2}} \beta _{0}-\gamma _{1}-{\cfrac {\beta_{1}^{2}}{\beta _{1}-\gamma _{2}-{\cfrac {\beta _{2}^{2}}{\beta_{2}-\gamma_{3}-\ddots }}}}}},}$

gdzie zdefiniowaliśmy

${\ Displaystyle \ beta _ {i} = \ langle \ phi _ {i-1} | V_ {i-1} | \ phi _ {i-1} \ rangle, \ qquad \ gamma _ {i} = \ langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i}\rangle .}$

W praktycznych obliczeniach ułamek łańcucha nieskończonego jest zastępowany przez ułamek skończony przy założeniu, że

${\ Displaystyle \ beta _ {N} = \ beta _ {N + 1} = \ kropki = 0, \ qquad \ gamma _{N}=\gamma _{N+1}=\kropki =0.}$

Jest to równoważne założeniu, że pozostałe rozwiązanie

${\ Displaystyle | \ psi _ {N} \ rangle = | \ phi _ {N} \ rangle + G_ {0} V_ {N} | \ psi _ {N} \ rangle,}$

jest znikomy. Jest to prawdopodobne założenie, ponieważ reszta $potencjału$ wektory ${\ Displaystyle |\ phi _ {i} \ rangle, i = 0,1, \ ldots, N-1}$ i można to wykazać ten potencjał zbiega się do zera, a frakcja łańcuchowa zbiega się do dokładnej macierzy T.

Algorytm MCFG

Drugi wariant metody konstruuje przybliżenia do operatora Greena

${\ Displaystyle G_ {i + 1} = G_ {i} - {\ Frac {|\ phi _ {i + 1} \ rangle \ langle \ phi _ {i + 1} |} {\ kąt \phi _{i}|V|\phi _{i+1}\rangle }},}$

teraz z wektorami

${\ Displaystyle | \ phi _ {i + 1} \ rangle = G_ {i} V | \ phi _ {i} \ rangle.}$

$obowiązuje$ T, z nieco inną współczynników

Właściwości i stosunek do innych metod

Wyrażenia na macierz T wynikające z obu metod można odnieść do pewnej klasy zasad wariacyjnych. W przypadku pierwszej iteracji metody MCFV otrzymujemy taki sam wynik jak z zasady wariacyjnej Schwingera z funkcją próbną ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = | \ phi \ rangle}$ . Wyższe iteracje z N -członami w ułamku ciągłym odtwarzają dokładnie 2 N wyrazów (2 N + 1) szeregu Borna odpowiednio dla metody MCFV (lub MCFG). Metodę przetestowano na obliczaniu zderzeń elektronów z atomu wodoru w przybliżeniu statyczno-wymiennym. W tym przypadku metoda odtwarza dokładne wyniki dla przekroju poprzecznego rozpraszania na 6 cyfrach znaczących w 4 iteracjach. Można również wykazać, że obie metody dokładnie odtwarzają rozwiązanie równania Lippmanna-Schwingera z potencjałem danym przez operatora skończonego rzędu . Liczba iteracji jest wtedy równa randze potencjału. Metoda ta jest z powodzeniem stosowana do rozwiązywania problemów zarówno w fizyce jądrowej , jak i molekularnej .