Urodzona seria

Seria Borna to rozwinięcie różnych wielkości rozpraszania w $V}$ rozpraszania kwantowego we potęgach potencjału interakcji (dokładniej w potęgach gdzie $Displaystyle$ $displaystyle G_{0}} to$ ${0}$ operator Greena cząstki swobodnej ). Jest to ściśle związane z przybliżeniem Borna , które jest wyrazem pierwszego rzędu szeregu Borna. Szereg można formalnie rozumieć jako szereg potęgowy wprowadzający stałą sprzężenia przez podstawienie. ${\ Displaystyle V \ do \ lambda V}$ . Szybkość zbieżności i $promień$ zbieżności Borna są związane z własnymi operatora . Ogólnie rzecz biorąc, kilka pierwszych wyrazów szeregu Borna jest dobrym przybliżeniem rozszerzonej wielkości dla „słabej” interakcji $.$ dużej energii zderzenia

Szeregi Borna dla stanów rozpraszania

Czyta się serię Borna dla stanów rozpraszania

{\ Displaystyle |\ psi \ rangle =|\ phi \ rangle + G_ {0} (E) V | \ phi \ rangle + [G_ {0} (E) V] ^ {2} | \ phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots }

Można to wyprowadzić, powtarzając równanie Lippmanna – Schwingera

{\ Displaystyle |\ psi \ rangle =|\ phi \ rangle + G_ {0} (E) V|\ psi \ rangle.}

Zauważ, że operator Greena dla cząstki swobodnej może być operatorem opóźnionym / zaawansowanym lub operatorem fali stojącej $dla$ ${\ Displaystyle | \ psi ^ {(+)} \ rangle}$ zaawansowany ${\ Displaystyle | \ psi ^ {(-)} \ rangle}$ lub stany rozpraszania fali stojącej ${\ Displaystyle | \ psi ^ {(P)} \ rangle}$ . Pierwszą iterację uzyskuje się przez zastąpienie pełnego rozwiązania rozpraszania ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ z funkcją swobodnej fali cząstek ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle}$ po prawej stronie równania Lippmanna-Schwingera i daje pierwsze przybliżenie Borna . Druga iteracja zastępuje pierwsze przybliżenie Borna po prawej stronie, a wynik nazywany jest drugim przybliżeniem Borna. Ogólnie rzecz biorąc, n-te przybliżenie Borna uwzględnia n-członów szeregu. Drugie przybliżenie Borna jest czasami używane, gdy pierwsze przybliżenie Borna znika, ale wyższe terminy są rzadko używane. Szeregi Borna można formalnie zsumować jako szeregi geometryczne ze wspólnym stosunkiem równym operatorowi , dając ${\ displaystyle G_ {0} V}$ rozwiązanie równania Lippmanna-Schwingera w postaci sol

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = [I-G_ {0}(E) V] ^ {-1} |\ phi \ rangle = [V-VG_ {0} (E) V] ^ {-1} V |\phi \rangle .}

Seria Born dla macierzy T

Szereg Borna można również zapisać dla innych wielkości rozpraszania, takich jak macierz T , która jest ściśle związana z amplitudą rozpraszania . Iterując równanie Lippmanna-Schwingera dla otrzymanej macierzy T

{\ Displaystyle T (E) = V + VG_ {0} ( E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\kropki }

Dla macierzy T $}$ tylko opóźniony operator Greena ${\ Displaystyle G_ {0} ^ {(+)} (E)$ . Zamiast tego operator fali stojącej Greena podałby macierz K.

Szeregi Borna dla pełnego operatora Greena

Równanie Lippmanna-Schwingera dla operatora Greena nazywa się tożsamością resolwenta ,

{\ Displaystyle G (E) = G_ {0} (E) + G_ {0} (E) VG (E).}

Jego rozwiązanie przez iterację prowadzi do szeregu Borna dla pełnego operatora Greena sol $\ Displaystyle G (E) = (EH + i \ epsilon) ^ {- 1 }}$

{\ Displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{2}G_{0}(E)+ [G_{0}(E)V]^{3}G_{0}(E)+\kropki }

Bibliografia

Joachain, Charles J. (1983). Teoria zderzeń kwantowych . Holandia Północna. ISBN 978-0-7204-0294-0 .
Taylor, John R. (1972). Teoria rozpraszania: teoria kwantowa dotycząca zderzeń nierelatywistycznych . Johna Wileya. ISBN 978-0-471-84900-1 .
Newton, Roger G. (2002). Teoria rozpraszania fal i cząstek . Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-42535-1 .