Równanie Lippmanna – Schwingera

Równanie Lippmanna-Schwingera (nazwane na cześć Bernarda Lippmanna i Juliana Schwingera ) jest jednym z najczęściej używanych równań do opisu zderzeń cząstek – a dokładniej rozpraszania – w mechanice kwantowej . Może być stosowany do rozpraszania cząsteczek, atomów, neutronów, fotonów lub innych cząstek i jest ważny głównie w fizyce atomowej, molekularnej i optycznej , fizyce jądrowej i fizyce cząstek elementarnych , ale także w problemach rozpraszania sejsmicznego w geofizyce . Wiąże rozproszoną funkcję falową z interakcją, która powoduje rozpraszanie (potencjał rozpraszania), a zatem umożliwia obliczenie odpowiednich parametrów eksperymentalnych ( amplituda rozpraszania i przekroje poprzeczne ).

Najbardziej podstawowym równaniem opisującym dowolne zjawisko kwantowe, w tym rozpraszanie, jest równanie Schrödingera . W przypadku problemów fizycznych to równanie różniczkowe należy rozwiązać, wprowadzając dodatkowy zestaw warunków początkowych i/lub brzegowych dla określonego badanego układu fizycznego. Równanie Lippmanna – Schwingera jest równoważne równaniu Schrödingera plus typowe warunki brzegowe dla problemów rozpraszania. Aby osadzić warunki brzegowe, równanie Lippmanna – Schwingera należy zapisać jako równanie całkowe . W przypadku problemów z rozpraszaniem równanie Lippmanna – Schwingera jest często wygodniejsze niż oryginalne równanie Schrödingera.

Ogólna postać równania Lippmanna – Schwingera jest następująca (w rzeczywistości poniżej pokazano dwa równania, jedno dla znaku, $drugie$$znaku$ ) :

${\ Displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ Frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ epsilon}} V | \ psi ^ {(\ pm )}\rangle .\,}$

Energia potencjalna $.$ interakcję między dwoma zderzającymi się systemami Hamiltonian opisuje sytuację, w której oba systemy są nieskończenie daleko od siebie i nie wchodzą $w$ . Jego funkcjami własnymi są ${\ Displaystyle |\ phi \ rangle \,}$ i jego wartościami własnymi są energie mi $\ displaystyle E \,}$ . Wreszcie ${\ Displaystyle i \ epsilon \,}$ to techniczna technika matematyczna niezbędna do obliczenia całek potrzebnych do rozwiązania równania. Jest to konsekwencja przyczynowości, zapewniająca, że ​​fale rozproszone składają się tylko z fal wychodzących. Jest to rygorystyczne dzięki zasadzie ograniczającej absorpcji .

Stosowanie

Równanie Lippmanna – Schwingera jest przydatne w bardzo wielu sytuacjach związanych z rozpraszaniem na dwóch ciałach. W przypadku trzech lub więcej zderzających się ciał nie działa to dobrze z powodu ograniczeń matematycznych; Zamiast tego można zastosować równania Faddeeva . Istnieją jednak przybliżenia, które w różnych przypadkach mogą zredukować problem wielu ciał do zestawu problemów dwóch ciał . Na przykład w zderzeniu elektronów z cząsteczkami mogą brać udział dziesiątki lub setki cząstek. Ale zjawisko to można zredukować do problemu dwóch ciał, opisując wszystkie potencjały cząstek składowych cząsteczki wraz z a pseudopotencjalny . W takich przypadkach można zastosować równania Lippmanna – Schwingera. Oczywiście główną motywacją tych podejść jest również możliwość wykonywania obliczeń przy znacznie mniejszych nakładach obliczeniowych.

Pochodzenie

Załóżmy, że hamiltonian można zapisać jako

${\ Displaystyle H = H_ {0} + V}$

gdzie H ₀ jest wolnym hamiltonianem (lub bardziej ogólnie hamiltonianem ze znanymi wektorami własnymi). Na przykład w nierelatywistycznej mechanice kwantowej H ₀ może być

${\ Displaystyle H_ {0} = {\ Frac {p ^ {2}} {2m}}}$ .

Intuicyjnie V jest energią interakcji systemu. Niech będzie stan własny H ₀ :

${\ Displaystyle H_ {0} | \ phi \ rangle = E | \ phi \ rangle}$ .

Teraz, jeśli dodamy do tego interakcję $,$ równanie Schrödingera

${\ Displaystyle \ lewo (H_ {0} + V \ prawo) | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle}$ .

Rozważmy teraz twierdzenie Hellmanna-Feynmana , które wymaga, aby wartości własne energii hamiltonianu zmieniały się w sposób ciągły wraz z ciągłymi zmianami hamiltonianu. Dlatego życzymy ${\ Displaystyle |\ psi \ rangle \ do |\ phi \ rangle}$ jak ${\ Displaystyle V \ do 0}$ . Naiwnym rozwiązaniem tego równania byłoby

${\ Displaystyle |\ psi \ rangle =|\ phi \ rangle + {\ Frac {1} {EH_ {0}}} V | \ psi \ rangle}$ .

gdzie oznaczenie 1/ A oznacza odwrotność A . Jednak E - H ₀ jest liczbą pojedynczą , ponieważ E jest wartością własną H ₀ . Jak opisano poniżej, tę osobliwość można wyeliminować na dwa różne sposoby, czyniąc mianownik nieco złożonym, aby dać sobie trochę swobody [1] :

${\ Displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ Frac {1} {EH_ {0} \ pm i \ epsilon}} V |\ psi ^{(\pm)}\rangle}$ .

Poprzez wstawienie pełnego zestawu swobodnych stanów cząstek,

${\ Displaystyle |\ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = |\ phi \ rangle + \ int d \ beta {\ Frac {|\ phi _ {\ beta} \ rangle } {E-E_ {\ beta} \pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{ \beta }|\phi _{\beta}\rangle }$ ,

równanie Schrödingera zostaje przekształcone w równanie całkowe. Zakłada się, że stany „in” (+) i „out” (-) również tworzą bazy , odpowiednio w odległej przeszłości i odległej przyszłości, mające wygląd swobodnych stanów cząstek, ale będące funkcjami własnymi kompletnego hamiltonianu. W ten sposób wyposażając je w indeks, równanie staje się

${\ Displaystyle | \ psi _ {\ alfa} ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi _ {\ alfa} \ rangle + \ int d \ beta {\ Frac {T_ {\ beta \ alfa} ^ {(\pm )}|\phi _{\beta }\rangle }{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha}^{(\ pm )}=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha}^{(\pm)}\rangle}$ .

Metody rozwiązania

Z matematycznego punktu widzenia równanie Lippmanna-Schwingera w reprezentacji współrzędnych jest równaniem całkowym typu Fredholma. Można to rozwiązać przez dyskretyzację . Ponieważ jest to równoważne niezależnemu od czasu równaniu różniczkowemu Schrödingera z odpowiednimi warunkami brzegowymi, można je również rozwiązać metodami numerycznymi dla równań różniczkowych. W przypadku sferycznie symetrycznego potencjału jest to zwykle rozwiązywane za pomocą analizy fali cząstkowej ${\ displaystyle V}$ . Dla wysokich energii i/lub słabych potencjałów można to również rozwiązać perturbacyjnie za pomocą szeregu Borna . Metodą dogodną również w przypadku fizyki wielu ciał, jak np . w opisie zderzeń atomowych, jądrowych czy molekularnych, jest metoda macierzy R Wignera i Eisenbuda. Inna klasa metod opiera się na rozdzielnym rozwinięciu potencjału lub operatora Greena, podobnie jak metoda ułamków ciągłych Horáčka i Sasakawy. Bardzo ważna klasa metod opiera się na zasadach wariacyjnych, na przykład metoda Schwingera-Lanczosa łącząca zasadę wariacyjną Schwinger z algorytmem Lanczosa .

Interpretacja stanów wejścia i wyjścia

Paradygmat macierzy S

W sformułowaniu S-matrix fizyki cząstek elementarnych , którego pionierem był między innymi John Archibald Wheeler , wszystkie procesy fizyczne są modelowane zgodnie z następującym paradygmatem.

₀ Zaczyna się od niewchodzącego w interakcje stanu wielocząstkowego w odległej przeszłości. Brak interakcji nie oznacza, że ​​wszystkie siły zostały wyłączone, w którym to przypadku na przykład protony rozpadłyby się, ale raczej, że istnieje wolny od interakcji hamiltonian H , dla którego stany związane mają takie samo spektrum poziomów energii jak rzeczywisty Hamiltonian H. Ten stan początkowy jest określany jako stan in . Intuicyjnie składa się z cząstek elementarnych lub stanów związanych, które są na tyle dobrze oddzielone, że ich wzajemne interakcje są ignorowane.

Chodzi o to, że jakikolwiek proces fizyczny, który próbujemy badać, może być modelowany jako proces rozpraszania tych dobrze oddzielonych stanów związanych. Ten proces jest opisany przez pełny hamiltonian H , ale kiedy się skończy, wszystkie nowe cząstki elementarne i nowe stany związane ponownie się rozdzielają i znajduje się nowy nieoddziałujący stan zwany stanem out . Macierz S jest bardziej symetryczna w teorii względności niż hamiltonian, ponieważ nie wymaga wyboru przedziałów czasu do zdefiniowania.

Ten paradygmat pozwala obliczyć prawdopodobieństwo wszystkich procesów, które zaobserwowaliśmy w ciągu 70 lat eksperymentów zderzaczy cząstek z niezwykłą dokładnością. Jednak wiele interesujących zjawisk fizycznych w oczywisty sposób nie pasuje do tego paradygmatu. Na przykład, jeśli ktoś chce rozważyć dynamikę wewnątrz gwiazdy neutronowej, czasami chce wiedzieć więcej niż to, w co ostatecznie się rozpadnie. Innymi słowy, ktoś może być zainteresowany pomiarami, które nie są w asymptotycznej przyszłości. Czasami asymptotyczna przeszłość lub przyszłość nie jest nawet dostępna. Na przykład jest bardzo możliwe, że przed Wielkim Wybuchem nie było przeszłości .

W latach sześćdziesiątych wielu fizyków podniosło paradygmat macierzy S do rangi podstawowego prawa natury. W teorii S-macierzy stwierdzono, że każda wielkość, którą można zmierzyć, powinna znaleźć się w macierzy S dla jakiegoś procesu. Pomysł ten został zainspirowany fizyczną interpretacją, jaką techniki S-macierzy mogły nadać diagramom Feynmana ograniczonym do powłoki masy i doprowadził do budowy modeli podwójnego rezonansu . Było to jednak bardzo kontrowersyjne, ponieważ zaprzeczało słuszności kwantowej teorii pola opartej na polach lokalnych i hamiltonianach.

Połączenie z Lippmann – Schwinger

$. Są$ , nieco zdeformowane funkcje własne hamiltonowskiego H to stany wejścia stanami $nieoddziałującymi$ , które przypominają stany wejścia i wyjścia w nieskończonej przeszłości i nieskończonej przyszłości

Tworzenie pakietów falowych

$do$ końca poprawny, ponieważ jest funkcją własną hamiltonianu tylko fazą Tak więc w szczególności stan fizyczny nie ewoluuje, a więc nie może stać się nieoddziałujący. Ten problem można łatwo obejść, składając i w pakiety falowe z pewnym rozkładem ${\ Displaystyle \ psi ^ {(\ pm}$$}$${\ displaystyle g (E)}$ energii w charakterystycznej skali $\ Delta E}$$\$ . Zasada nieoznaczoności pozwala teraz $.$ zachodzenie interakcji stanów asymptotycznych w skali czasu, ​​interakcje mogą się wyłączyć poza tym przedziałem Poniższy argument sugeruje, że tak właśnie jest.

Podłączanie równań Lippmanna – Schwingera do definicji

${\ Displaystyle \ psi _ {g} ^ {(\ pm)} (t) = \ int dE \$

I

${\ Displaystyle \ fi _ {g} (t) = \ int dE \, e ^ {-iEt} g (E) \ fi}$

${\ Displaystyle \ psi _ {g} (t)}$ i ϕ $\ Displaystyle \ phi _ {g} ( t)}$ pakiety falowe są określone przez całkę po energii E .

Całka konturowa

Całkę tę można oszacować, definiując funkcję falową na zespolonej płaszczyźnie E i zamykając kontur E za pomocą półkola, na którym funkcje falowe znikają. Całkę po zamkniętym konturze można następnie oszacować za pomocą twierdzenia o całce Cauchy'ego jako sumę reszt na różnych biegunach. $\ Displaystyle$ teraz argumentować, że reszty zbliżają się do reszt w czasie $\ psi ^ {(\ pm)}}$${\ Displaystyle t \ rightarrow \ mp \ infty},$ a więc odpowiednie pakiety fal są równe w nieskończoności czasowej.

$W rzeczywistości dla$ dodatnich czasów t czynnik w stanie obrazu Schrödingera do zamknięcia konturu na Biegun w równaniu Lippmanna-Schwingera odzwierciedla niepewność czasową interakcji, podczas gdy w funkcji wagi pakietu falowego ( $\ Displaystyle (\ phi, V \ psi ^ {\ pm})}$ odzwierciedla czas trwania interakcji. Obie te odmiany biegunów występują przy skończonych wyimaginowanych energiach, a zatem są tłumione w bardzo dużych czasach. Biegun w różnicy energii w mianowniku znajduje się na górnej półpłaszczyźnie w przypadku ${\ displaystyle \ psi ^ {-}}$ , a więc nie leży wewnątrz konturu całki i nie przyczynia się do całki ${\ displaystyle \ psi ^ {-}}$ . Reszta jest równa $pakietowi$ . Tak więc , w bardzo późnych $asymptotyczny$ , $.$ na siebie

Podobnie można zintegrować pakiet falowy odpowiadający ${\ displaystyle \ psi ^ {+}}$ w bardzo ujemnych czasach. $przypadku$ kontur musi być zamknięty nad górną półpłaszczyzną, która w związku z tym omija biegun energii , który znajduje w dolnej półpłaszczyźnie. Następnie stwierdza się, że $ψ$ i $displaystyle \ psi$ równe w asymptotycznej przeszłości, identyfikując ${+}}$ jako asymptotyczny nieoddziałujący w stanie.

Zespolony mianownik Lippmanna – Schwingera

$jest$ identyfikacja stanów $Schwingera$ uzasadnieniem dla mianownika równań Lippmanna –

Wzór na macierz S

Macierz S jest zdefiniowana jako iloczyn wewnętrzny

${\ Displaystyle S_ {ab} = (\ psi _ {a} ^ {-}, \ psi _ {b} ^ {+})}$

a th i b th Heisenberg obrazuje stany asymptotyczne. Można uzyskać wzór odnoszący S do potencjału V , $-}}$ konturu, ale tym razem zmieniając role i ψ $\ psi ^ {+}}$$\ displaystyle$ . W rezultacie kontur podnosi teraz biegun energii. Może to być związane z , jeśli ktoś używa macierzy S do zamiany dwóch ${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ psi}$ 's. Identyfikując współczynniki po obu stronach równania, znajdujemy pożądany wzór odnoszący S do potencjału ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle S_ {ab} = \ delta (ab) -2i \ pi \ delta (E_ {a} -E_ {b}) (\ phi _ {a}, V \ psi _ {b} ^ {+}) .}$

W przybliżeniu Borna , odpowiadającym teorii perturbacji $\ displaystyle$ , ten ostatni zastępuje się odpowiednią funkcją własną wolnego hamiltonianu H , otrzymując $\ psi ^ {+}}$₀

${\ Displaystyle S_ {ab} = \ delta (ab) -2i \ pi \ delta ( E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$

która wyraża macierz S całkowicie w kategoriach V i wolnych hamiltonowskich funkcji własnych.

Wzory te mogą z kolei służyć do obliczania szybkości reakcji procesu ${\ displaystyle b \ rightarrow a}$ , która jest równa ${\ Displaystyle | S_ {ab} - \ delta _ {ab} | ^ {2}. \,}$

Homogenizacja

Przy wykorzystaniu funkcji Greena równanie Lippmanna – Schwingera ma odpowiedniki w teorii homogenizacji (np. mechanice, przewodnictwie, przenikalności).

Zobacz też

• Równanie Bethe-Salpetera

Bibliografia

•   Joachain, CJ (1983). Teoria zderzeń kwantowych . Holandia Północna . ISBN 978-0-7204-0294-0 .
•   Sakurai, JJ (1994). Nowoczesna mechanika kwantowa . Addisona Wesleya . ISBN 978-0-201-53929-5 .
•   Weinberg, S. (2002) [1995]. Fundamenty . Kwantowa teoria pól. Tom. 1. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55001-7 .

Oryginalne publikacje

• Lippmanna, BA ; Schwinger, J. (1950). „Zasady wariacyjne dla procesów rozpraszania. I”. fizyka Wielebny Lett . 79 (3): 469–480. Bibcode : 1950PhRv...79..469L . doi : 10.1103/PhysRev.79.469 .
• Wheeler, JA (1937). „O matematycznym opisie jąder światła metodą rezonansowej struktury grupowej”. fizyka ks . 52 (11): 1107–1122. Bibcode : 1937PhRv...52.1107W . doi : 10.1103/PhysRev.52.1107 .