Miara Carlesona

W matematyce miara Carlesona jest rodzajem miary na podzbiorach n - wymiarowej ^przestrzeni euklidesowej Rn . Z grubsza mówiąc, miara Carlesona w domenie Ω jest miarą, która nie znika na granicy Ω w porównaniu z miarą powierzchni na granicy Ω.

Miary Carlesona mają wiele zastosowań w analizie harmonicznej i teorii równań różniczkowych cząstkowych , np. w rozwiązywaniu problemów Dirichleta z „zgrubną” granicą. Warunek Carlesona jest ściśle powiązany z ograniczonością operatora Poissona . Miary Carlesona zostały nazwane na cześć szwedzkiego matematyka Lennarta Carlesona .

Definicja

Niech n ∈ N i niech Ω ⊂ R ⁿ będzie zbiorem otwartym (a więc mierzalnym ) z niepustą granicą ∂Ω. Niech μ będzie miarą Borela na Ω i niech σ będzie miarą powierzchni na ∂Ω. Mówimy, że miara μ jest miarą Carlesona , jeśli istnieje stała C > 0 taka, że ​​dla każdego punktu p ∈ ∂Ω i każdego promienia r > 0

${\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ Omega \ czapka \ mathbb {B} _ {r} (p) \ prawo )\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right),}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ mathbb {B} _ {r} (p): = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n} \ lewo | \ | xp \ |_{\mathbb {R} ^{n}}<r\right.\right\}}$

oznacza otwartą kulę o promieniu r wokół p .

Twierdzenie Carlesona o operatorze Poissona

Niech D oznacza dysk jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej C , wyposażony w pewną miarę Borela μ . Dla 1 ≤ p < +∞, niech H ^p (∂ D ) oznacza przestrzeń Hardy'ego na granicy D i niech L ^p ( D , μ ) oznacza przestrzeń L ^p na D względem miary μ . Zdefiniuj operatora Poissona

$\ Displaystyle P: H ^ {p} (\ częściowe D) \ do L ^ {p} (D, \ mu)}$

przez

${\ Displaystyle P (f) (z) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ operatorname {Re} {\ Frac {e ^ {it} + z}{e^{it}-z}}f(e^{it})\,\mathrm {d} t.}$

Wtedy P jest ograniczonym operatorem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy miarą μ jest Carleson.

Inne powiązane pojęcia

Infimum zbioru stałych C > 0 , dla których warunek Carlesona

${\ Displaystyle \ forall r> 0 \ forall p \ w \ częściowe \ Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}( p)\prawo)}$

jest znana jako norma Carlesona miary μ .

Jeśli C ( R ) jest zdefiniowane jako infimum zbioru wszystkich stałych C > 0 , dla których ograniczony warunek Carlesona

${\ Displaystyle \ forall r \ in (0, R) ,\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \ mathbb {B} _ {r}(p)\right)}$

mówi się, że miara μ spełnia znikający warunek Carlesona , jeśli C ( R ) → 0 jako R → 0.

•   Carleson, Lennart (1962). „Interpolacje przez ograniczone funkcje analityczne i problem korony”. Ann. z matematyki. 76 (3): 547–559. doi : 10.2307/1970375 . MR 0141789 .

Linki zewnętrzne

• Mortini, R. (2001) [1994], „miara Carlesona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press