Miara Marcina

W opisowej teorii mnogości miara Martina jest filtrem na zbiorze stopni Turinga zbiorów liczb naturalnych , nazwanym na cześć Donalda A. Martina . Zgodnie z aksjomatem determinacji można wykazać, że jest to ultrafiltr .

Definicja

Niech będzie $zbiorem$ stopni Turinga zbiorów liczb naturalnych ${\ Displaystyle [Y]}$$jako$ klasę równoważności , możemy zdefiniować stożek (lub skierowany w górę wszystkich stopni Turinga $]}$ X takie, że ${\ Displaystyle X \ równoważnik _ {T} Y}$ ; to znaczy zestaw stopni Turinga, które są „co najmniej tak złożone” jak $w$ redukcji Turinga . $\ Displaystyle [X$ porządku stożek jest górnym zbiorem [ $]$ }

Zakładając aksjomat determinacji , lemat stożkowy stwierdza, że ​​​​jeśli A jest zbiorem stopni Turinga, albo A zawiera stożek, albo dopełnienie A zawiera stożek. Jest podobny do lematu Wadge'a dla stopni Wadge'a i jest ważny dla następującego wyniku.

Mówimy, że zbiór $1$ pod miarą Martina dokładnie wtedy, gdy zawiera $stożek$ . Ponieważ dla $zawiera$ możliwe jest skonstruowanie gry, w której gracz I ma strategię wygrywającą dokładnie wtedy, gdy $stożek$ w której gracz II ma strategię wygrywającą dokładnie wtedy, gdy dopełnienie z ZA $\ Displaystyle A}$ zawiera stożek, aksjomat determinacji implikuje, że zestawy stopni Turinga o mierze 1 tworzą ultrafiltr.

Konsekwencje

Łatwo jest pokazać, że policzalne przecięcie stożków samo w sobie jest stożkiem; miara Martina jest zatem przeliczalnie kompletnym filtrem. Fakt ten, w połączeniu z faktem, że miarę Martina można przenieść do ${1}}$ odwzorowania, mówi nam, że jest mierzalna pod $\ displaystyle \ omega$ aksjomat determinacji. Ten wynik pokazuje część ważnego związku między determinacją a dużymi kardynałami .

•   Moschovakis, Yiannis N. (2009). Opisowa teoria mnogości . Ankiety i monografie matematyczne. Tom. 155 (wyd. 2). Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. P. 338. ISBN 9780821848135 .