Miejsce Arago

Eksperyment punktowy Arago. Źródło punktowe oświetla okrągły obiekt, rzucając cień na ekran. W centrum cienia pojawia się jasny punkt z powodu dyfrakcji , co jest sprzeczne z przewidywaniami optyki geometrycznej .

Zdjęcie plamki Arago w cieniu okrągłej przeszkody o średnicy 5,8 mm

Symulacja numeryczna natężenia światła monochromatycznego o długości fali λ = 0,5 µm za kolistą przeszkodą o promieniu R = 5 µm = 10λ .

Tworzenie spotu Arago (wybierz „źródło WebM”, aby uzyskać dobrą jakość)

Plama Arago tworząca się w cieniu

W optyce plamka Arago , plamka Poissona lub plamka Fresnela to jasny punkt, który pojawia się w środku cienia okrągłego obiektu z powodu dyfrakcji Fresnela . Miejsce to odegrało ważną rolę w odkryciu falowej natury światła i jest powszechnym sposobem wykazania, że ​​światło zachowuje się jak fala (na przykład w ćwiczeniach laboratoryjnych z fizyki na studiach) .

Podstawowa konfiguracja eksperymentalna wymaga źródła punktowego, takiego jak oświetlony otworek lub rozbieżna wiązka laserowa . Wymiary zestawu muszą być zgodne z wymaganiami dotyczącymi dyfrakcji Fresnela . Mianowicie liczba Fresnela musi spełniać

$${\ Displaystyle F = {\ Frac {d ^ {2}} {\ ell \ lambda}} \ gtrsim 1,}$$

Gdzie

• d jest średnicą okrągłego obiektu,
• ℓ to odległość między obiektem a ekranem, oraz
• λ to długość fali źródła.

Wreszcie krawędź okrągłego przedmiotu musi być wystarczająco gładka.

Te warunki łącznie wyjaśniają, dlaczego jasna plama nie występuje w życiu codziennym. Jednak przy źródłach laserowych przeprowadzenie eksperymentu z plamką Arago nie jest wymagające.

W astronomii plamkę Arago można również zaobserwować na mocno rozogniskowanym obrazie gwiazdy w teleskopie Newtona . Tam gwiazda zapewnia niemal idealne źródło punktowe w nieskończoności, a zwierciadło wtórne teleskopu stanowi okrągłą przeszkodę.

Kiedy światło pada na okrągłą przeszkodę, zasada Huygensa mówi, że każdy punkt na płaszczyźnie przeszkody działa jak nowe punktowe źródło światła. Światło wychodzące z punktów na obwodzie przeszkody i idące do środka cienia pokonuje dokładnie taką samą odległość, więc całe światło przechodzące blisko obiektu dociera do ekranu w fazie i konstruktywnie interferuje . Skutkuje to jasnym punktem w środku cienia, gdzie znajduje się optyka geometryczna i cząsteczkowe teorie światła przewidywać, że w ogóle nie powinno być światła.

Historia

Na początku XIX wieku pomysł, że światło nie rozchodzi się po prostu po liniach prostych, zyskał popularność. Thomas Young opublikował swój eksperyment z podwójną szczeliną w 1807 roku. Oryginalny eksperyment punktowy Arago został przeprowadzony dziesięć lat później i był decydującym eksperymentem w kwestii, czy światło jest cząstką, czy falą. Jest to zatem przykład eksperymentu krzyżowego .

W tamtym czasie wielu faworyzowało korpuskularną teorię światła Izaaka Newtona, wśród nich teoretyk Siméon Denis Poisson . W 1818 roku Francuska Akademia Nauk ogłosiła konkurs na wyjaśnienie właściwości światła, w którym Poisson był jednym z członków komisji oceniającej. Inżynier budowlany Augustin-Jean Fresnel zgłosił się do konkursu, przedstawiając nową falową teorię światła .

Poisson szczegółowo przestudiował teorię Fresnela i będąc zwolennikiem cząstekkowej teorii światła, szukał sposobu, aby udowodnić, że jest ona błędna. Poisson sądził, że znalazł błąd, argumentując, że konsekwencją teorii Fresnela było istnienie jasnego punktu na osi w cieniu okrągłej przeszkody, w którym zgodnie z cząsteczkową teorią światła powinna panować całkowita ciemność. Ta prognoza była postrzegana jako absurdalna konsekwencja teorii fal, a niepowodzenie tej prognozy powinno być mocnym argumentem za odrzuceniem teorii Fresnela.

Jednak szef komitetu, Dominique-François-Jean Arago , zdecydował się faktycznie przeprowadzić eksperyment. Uformował metalowy krążek o średnicy 2 mm na szklanej płytce za pomocą wosku. Udało mu się zaobserwować przewidywane miejsce, co przekonało większość naukowców o falowej naturze światła i dało zwycięstwo Fresnelowi.

Arago zauważył później , że zjawisko (później znane jako „plamka Poissona” lub „plamka Arago”) zostało już zaobserwowane przez Delisle'a i Maraldiego sto lat wcześniej.

Chociaż wynik eksperymentu Arago był przytłaczającym dowodem na korzyść teorii falowej, sto lat później, w związku z narodzinami mechaniki kwantowej ( i po raz pierwszy zasugerowano w jednym z Mirabilis artykułów Alberta Einsteina Annus ), zrozumiano, że światło (jak również jak wszystkie formy materii i energii) musi być opisana zarówno jako cząstka, jak i fala ( dwoistość falowo-cząsteczkowa ). Jednak cząstka związana z falami elektromagnetycznymi, foton , nie ma nic wspólnego z cząstkami wyobrażanymi w teorii korpuskularnej, która dominowała przed powstaniem teorii falowej i potężną demonstracją Arago. W przeciwieństwie do prób wyjaśnienia propagacji światła przez teorię korpuskularną, właściwości fotonów nie odgrywają żadnej roli w wyjaśnianiu zjawisk takich jak dyfrakcja i interferencja ; są to przykłady propagacji światła ściśle zależnej od jego falowego charakteru.

Teoria

₀ Notacja do obliczania amplitudy fali w punkcie P ₁ ze sferycznego źródła punktowego w P .

Sercem teorii fal Fresnela jest zasada Huygensa-Fresnela , która stwierdza, że ​​każdy niezakłócony punkt czoła fali staje się źródłem wtórnej falki sferycznej, a amplituda pola optycznego E w punkcie na ekranie jest dana przez superpozycja wszystkich tych falek wtórnych z uwzględnieniem ich względnych faz. Oznacza to, że pole w punkcie P ₁ na ekranie jest określone przez całkę powierzchniową:

$${\ Displaystyle U (P_ {1}) = {\ Frac {Ae ^ {\ mathbf {i } kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi) \,dS,}$$

gdzie współczynnik nachylenia , który zapewnia, że ​​​​falki wtórne nie rozchodzą się wstecz, jest określony przez ${\ Displaystyle K (\ chi)}$

$${\ Displaystyle K (\ chi) = {\ Frac {\ mathbf {i}} {2 \ lambda}} (1 + \ cos (\ chi ))}$$

I

• A to amplituda fali źródłowej
• ${\ textstyle k = {\ Frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$ to liczba falowa
• S to powierzchnia bez przeszkód.

₀ Pierwszy człon poza całką reprezentuje oscylacje fali źródłowej w odległości r . Podobnie, człon wewnątrz całki reprezentuje oscylacje falek wtórnych w _{odległościach} r1 .

₀ W celu wyznaczenia natężenia za kołową przeszkodą za pomocą tej całki zakłada się, że parametry doświadczalne spełniają wymagania reżimu dyfrakcji bliskiego pola (rozmiar kołowej przeszkody jest duży w porównaniu do długości fali i mały w porównaniu z odległościami g = Pcib = CP1 ₎ . _ Przechodzenie do współrzędnych biegunowych daje następnie całkę dla okrągłego obiektu o promieniu a (patrz na przykład Urodzony i Wilk):

$${\ Displaystyle U (P_ {1}) = - {\ Frac {\ mathbf {i}}} {\ lambda}} {\ Frac {Ae ^ {\ mathbf {i} k (g + b)}} {gb} }2\pi \int _{a}^{\infty}e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\ frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$$

Intensywność na osi w środku cienia małej okrągłej przeszkody zbiega się do intensywności bez przeszkód.

Całkę tę można rozwiązać numerycznie (patrz poniżej). Jeśli g jest duże, a b jest małe, więc kąt nie jest pomijalny $dyskutuj],$ całkę dla przypadku na osi (P ₁ znajduje się w środku cienia) jako χ {\ displaystyle \ (Widzieć ):

$${\ Displaystyle U (P_ {1}) = {\ Frac {Ae ^ {\ mathbf {i} kg}}} {g}} {\ Frac {b} {\ sqrt {b ^ {2} + a ^ {2 }}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$$

Natężenie źródła , które jest kwadratem amplitudy pola, wynosi ${\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}$ i intensywność na ekranie ${\ Displaystyle I = \ lewo | U (P_ {1}) \ prawo | ^ {2}}$ . Intensywność na osi jako funkcja odległości b jest zatem określona wzorem:

$${\ Displaystyle I = {\ Frac {b ^ {2}} {b ^ {2} + a ^ {2}}} I_ {0}.}$$

Pokazuje to, że natężenie na osi w odległości b znacznie większej niż średnica okrągłej przeszkody jest takie samo jak natężenie źródła, tak jakby okrągły obiekt w ogóle nie był obecny. Jednak przy większych odległościach b , okazuje się, że rozmiar jasnej plamki (co widać w poniższych symulacjach, gdzie b/a zwiększa się w kolejnych obrazach) jest większy, co ułatwia rozpoznanie plamki.

Obliczanie obrazów dyfrakcyjnych

Aby obliczyć pełny obraz dyfrakcyjny widoczny na ekranie, należy wziąć pod uwagę całkę powierzchniową z poprzedniego rozdziału. Nie można już wykorzystywać symetrii kołowej, ponieważ linia między źródłem a dowolnym punktem na ekranie nie przechodzi przez środek okrągłego obiektu. Z funkcją przysłony sol $\ Displaystyle g (r, \ theta)}$ czyli 1 dla przezroczystych części płaszczyzny obiektu i 0 w przeciwnym razie (tj. jest to 0, jeśli prosta linia między źródłem a punktem na ekranie przechodzi przez blokujący okrągły obiekt). Całka, którą należy rozwiązać, jest dana wzorem:

$${\ Displaystyle U (P_ {1}) \ propto \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r, \ theta) e ^ {{\ Frac {\ mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \, d\rho \,d\theta .}$$

₀ Numeryczne obliczenie całki za pomocą reguły trapezów lub reguły Simpsona jest nieefektywne i staje się numerycznie niestabilne, zwłaszcza dla konfiguracji z dużą liczbą Fresnela . Możliwe jest jednak rozwiązanie promieniowej części całki tak, że do wykonania numerycznego pozostaje tylko całkowanie po kącie azymutu. Dla określonego kąta należy wyznaczyć całkę krzywoliniową dla promienia mającego początek w punkcie przecięcia prostej P P ₁ z kołową płaszczyzną przedmiotu. Wkład dla konkretnego promienia o kącie azymutu ${\ Displaystyle \ theta _ {1}}$ i przejście przezroczystą część płaszczyzny przedmiotu od ${\ displaystyle r = s}$ do ${\ displaystyle r = t}$ to:

$${\ Displaystyle R (\ theta _ {1}) \ propto e ^ {{\ Frac {\ pi} {2}} \ mathbf {i} s ^ {2}} -e ^ {{\ Frac {\ pi} {2}}\mathbf {i} t^{2}}.}$$

$dla$ kąta należy obliczyć punkt przecięcia ( s promienia z okrągłym obiektem, a następnie zsumować udziały określonej liczby między 0 a ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ . Wyniki takiego obliczenia przedstawiono na poniższych ilustracjach.

Obrazy są symulacjami plamki Arago w cieniu dysków o średnicy 4 mm, 2 mm i 1 mm, zobrazowanych 1 m za każdym dyskiem. Dyski są oświetlone światłem o długości fali 633 nm, rozchodzącym się z punktu znajdującego się 1 m przed każdym dyskiem. Każdy obraz ma szerokość 16 mm.

Aspekty eksperymentalne

Intensywność i rozmiar

Dla idealnego źródła punktowego intensywność plamki Arago jest równa intensywności niezakłóconego czoła fali . Tylko szerokość piku intensywności plamki Arago zależy od odległości między źródłem, okrągłym obiektem a ekranem, a także od długości fali źródła i średnicy okrągłego obiektu. długości fali źródła, zwiększając odległość l między okrągłym obiektem a ekranem lub zmniejszając średnicę okrągłego obiektu.

Poprzeczny rozkład natężenia na ekranie ma w rzeczywistości kształt kwadratowej zerowej funkcji Bessela pierwszego rodzaju , gdy znajduje się blisko osi optycznej i przy użyciu płaskiego źródła fali (źródło punktowe w nieskończoności):

$${\ Displaystyle U (P_ {1}, r) \ propto J_ {0} ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ pi rd} {\lambda b}}\po prawej)}$$

Gdzie

• r jest odległością punktu P1 na ekranie od osi _optycznej
• d jest średnicą okrągłego obiektu
• λ to długość fali
• b to odległość między okrągłym obiektem a ekranem.

Poniższe obrazy przedstawiają radialny rozkład intensywności symulowanych obrazów punktowych Arago powyżej:

Czerwone linie na tych trzech wykresach odpowiadają powyższym symulowanym obrazom, a zielone linie zostały obliczone przez zastosowanie odpowiednich parametrów do kwadratu funkcji Bessela podanej powyżej.

Skończony rozmiar źródła i spójność przestrzenna

Głównym powodem, dla którego plamka Arago jest trudna do zaobserwowania w okrągłych cieniach z konwencjonalnych źródeł światła, jest to, że takie źródła światła są złymi przybliżeniami źródeł punktowych. Jeśli źródło fali ma skończony rozmiar S , wówczas plamka Arago będzie miała zasięg określony przez Sb / g , tak jakby okrągły przedmiot działał jak soczewka. Jednocześnie intensywność plamki Arago jest zmniejszona w stosunku do intensywności niezakłóconego czoła fali. Definiowanie względnej intensywności ${\ displaystyle I _ {\ tekst {rel}}}$ jako intensywność podzieloną przez intensywność niezakłóconego czoła fali, względną intensywność dla rozszerzonego okrągłego źródła o średnicy w można wyrazić dokładnie za pomocą następującego równania:

$${\ Displaystyle I _ {\ tekst {rel}} (w) = J_ {0} ^ {2} \ left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)}$$

gdzie $i$$.$ funkcjami rodzaju ${\ displaystyle R}$$odległość$ promień dysku rzucającego cień, $i$ fali między źródłem a dyskiem. W przypadku dużych źródeł obowiązuje następujące przybliżenie asymptotyczne:

$${\ Displaystyle I _ {\ tekst {rel}} (w) \ około {\ Frac {2g \ lambda} {\ pi ^ {2} wR}}}$$

Odchylenie od cyrkularności

Jeśli przekrój poprzeczny okrągłego obiektu odbiega nieco od jego okrągłego kształtu (ale nadal ma ostrą krawędź w mniejszej skali), zmienia się kształt punktowej plamki Arago. W szczególności, jeśli obiekt ma przekrój elipsoidalny, plamka Arago ma kształt ewoluty . Należy zauważyć, że dzieje się tak tylko wtedy, gdy źródło znajduje się blisko idealnego źródła punktowego. Z rozszerzonego źródła wpływ na plamkę Arago jest tylko marginalny, ponieważ można interpretować plamkę Arago jako funkcję rozrzutu punktowego . Dlatego obraz rozszerzonego źródła zostaje rozmyty tylko z powodu splotu z funkcją punktową, ale nie zmniejsza się w całej intensywności.

Chropowatość powierzchni okrągłego obiektu

Plamka Arago jest bardzo wrażliwa na niewielkie odchylenia od idealnego okrągłego przekroju poprzecznego. Oznacza to, że niewielka chropowatość powierzchni okrągłego obiektu może całkowicie zniwelować jasny punkt. Pokazano to na poniższych trzech diagramach, które są symulacjami plamki Arago z krążka o średnicy 4 mm ( g = b = 1 m):

Symulacja obejmuje regularne pofałdowanie sinusoidalne o kształcie kołowym o amplitudzie odpowiednio 10 μm, 50 μm i 100 μm. Należy zauważyć, że pofałdowanie krawędzi 100 μm prawie całkowicie usuwa centralną jasną plamę.

Efekt ten można najlepiej zrozumieć za pomocą koncepcji strefy Fresnela . Pole transmitowane przez odcinek promieniowy wychodzący z punktu na krawędzi przeszkody zapewnia wkład, którego faza jest ściśle związana z położeniem punktu krawędziowego względem stref Fresnela. Jeżeli wariancje promienia przeszkody są znacznie mniejsze niż szerokość strefy Fresnela w pobliżu krawędzi, wkłady z segmentów promieniowych są mniej więcej w fazie i interferują konstruktywnie. Jeśli jednak przypadkowe pofałdowanie krawędzi ma amplitudę porównywalną lub większą niż szerokość tej sąsiedniej strefy Fresnela, wkłady z segmentów promieniowych nie są już w fazie i znoszą się nawzajem, zmniejszając intensywność plamki Arago.

Sąsiednia strefa Fresnela jest w przybliżeniu określona przez:

$${\ Displaystyle \ Delta R \ około {\ sqrt {r ^ {2} + \ lambda {\ Frac {gb} {g + b}}}} -r.}$$

Pofałdowanie krawędzi nie powinno przekraczać 10% tej szerokości, aby zobaczyć blisko idealne miejsce Arago. W powyższych symulacjach z krążkiem o średnicy 4 mm sąsiadująca strefa Fresnela ma szerokość około 77 μm.

Miejsce Arago z falami materii

W 2009 roku zademonstrowano punktowy eksperyment Arago z naddźwiękową wiązką rozprężną cząsteczek deuteru (przykład fal materii neutralnej ). Cząstki materii zachowujące się jak fale znane są z mechaniki kwantowej . Falowa natura cząstek w rzeczywistości wywodzi się z de Broglie'a , a także z eksperymentów Davissona i Germera . Plamkę Arago elektronów, które również tworzą fale materii, można zaobserwować w transmisyjnych mikroskopach elektronowych podczas badania okrągłych struktur o określonej wielkości.

Obserwacja plamki Arago z dużymi cząsteczkami, potwierdzająca w ten sposób ich falową naturę, jest tematem aktualnych badań.

Inne aplikacje

Oprócz demonstracji zachowania fal, plamka Arago ma również kilka innych zastosowań. Jednym z pomysłów jest wykorzystanie punktu Arago jako odniesienia w linii prostej w systemach wyrównania. Innym jest badanie aberracji w wiązkach laserowych przy użyciu czułości plamki na aberracje wiązki . Wreszcie, aragoskop został zaproponowany jako metoda radykalnej poprawy rozdzielczości ograniczonej dyfrakcją teleskopów kosmicznych.

Zobacz też

• Aragoskop
• Zakrywający dysk