Mieszany warunek brzegowy

Zielony: warunek brzegowy Neumanna; fioletowy: warunek brzegowy Dirichleta.

W matematyce mieszany warunek brzegowy dla równania różniczkowego cząstkowego definiuje problem wartości brzegowych , w którym wymagane jest rozwiązanie danego równania, aby spełnić różne warunki brzegowe na rozłącznych częściach granicy dziedziny , w której warunek jest określony. Dokładniej, w problemie z mieszanymi wartościami brzegowymi rozwiązanie musi spełniać warunek brzegowy Dirichleta lub Neumanna w sposób wzajemnie wykluczający się na rozłącznych częściach granicy.

Na przykład, mając rozwiązanie $u$ równania różniczkowego cząstkowego w dziedzinie $Ω$ z granicą $\partialΩ$ , mówi się, że spełnia ono mieszany warunek brzegowy, jeśli składa się z $\partialΩ$ dwóch rozłącznych części, $Γ 1$ i $Γ 2$ , takich, że $\partialΩ = Γ 1 \cup Γ 2$ , $u$ weryfikuje następujące równania:

{\ Displaystyle \ lewo.u \ prawo | _ {\ Gamma _ {1}} = u_ {0}}

i

{\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe n}} \ prawo | _ {\ Gamma _ {2}} = g,}

gdzie $u 0$ i $g$ mają dane funkcje określone na tych częściach granicy.

Mieszany warunek brzegowy różni się od warunku brzegowego Robina tym, że ten ostatni wymaga liniowej kombinacji , ewentualnie ze zmiennymi punktowo współczynnikami, warunków brzegowych Dirichleta i Neumanna, aby były spełnione na całej granicy danej dziedziny.

Uwaga historyczna

M. Wirtinger, dans une konwersacja privée, a attiré mon Attention sur le probleme suivant: déterminer une fonction $u$ vérifiant l'équation de Laplace dans un pewne domaine ( $D$ ) étant donné, sur une partie ( $S$ ) de la frontière, les valeurs périphériques de la fonction demandée et, sur le reste ( $S'$ ) de la frontière du domaine considéré, celles de la dérivée suivant la normale . Je me proponują de faire connaitre une solution très générale de cet intéressant problemlème.

— Stanisław Zaremba , ( Zaremba 1910 , §1, s. 313).

Pierwszy problem brzegowy spełniający mieszany warunek brzegowy został rozwiązany przez Stanisława Zarembę dla równania Laplace'a : według niego to Wilhelm Wirtinger zasugerował mu zbadanie tego problemu.

Zobacz też

Notatki

Fichera, Gaetano (1949), „Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti, relativi all'equazione e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, autoaggiunti” , Annali della Scuola Normale Superiore , Serie III (w języku włoskim) , 1 (1947) (1-4): 75-100, MR 0035370 , Zbl 0035.18603 . W artykule „ Egzystencjalna analiza rozwiązań mieszanych problemów brzegowych, związanych z równaniem eliptycznym drugiego rzędu i układami równań samosprzężonych „(Angielskie tłumaczenie tytułu), Gaetano Fichera podaje pierwsze dowody istnienia i twierdzenia o niepowtarzalności dla mieszanego problemu wartości brzegowych, obejmującego ogólne samosprzężone operatory eliptyczne drugiego rzędu w dość ogólnych domenach .
Guru, Bhag S.; Hızıroğlu, Hüseyin R. (2004), Podstawy teorii pola elektromagnetycznego (wyd. 2), Cambridge, Wielka Brytania – Nowy Jork: Cambridge University Press , s. 593, ISBN 0-521-83016-8 .
Miranda, Carlo (1955), Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – Neue Folge (w języku włoskim), tom. Heft 2 (wyd. 1), Berlin – Getynga – Nowy Jork: Springer Verlag , s. VIII+222, MR 0087853 , Zbl 0065.08503 .
Miranda, Carlo (1970) [1955], Równania różniczkowe cząstkowe typu eliptycznego , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – 2 Folge, tom. Zespół 2 (wydanie drugie poprawione), Berlin - Heidelberg - Nowy Jork: Springer Verlag , s. XII + 370, ISBN 978-3-540-04804-6 , MR 0284700 , Zbl 0198.14101 , przetłumaczone z języka włoskiego przez Zane C. Motteler.
Zaremba, S. (1910), „Sur un problème mixte relatif à l 'équation de Laplace”, Bulletin international de l'Académie des Sciences de Cracovie. Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles , Serie A: Sciences mathématiques (w języku francuskim): 313–344, JFM 41.0854.12 , przetłumaczone na język rosyjski jako Zaremba, S. (1946), Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа , Uspekhi Matematicheskikh Nauk (w języku rosyjskim), 1 (3-4 (13-14)): 125–146, MR 0025032 , Zbl 0061.23010 .